LXXXIV. Holometer, oder neues sehr genaues Instrument, um Zeichnungen in der Geometrie, so wie alle Zeichnungen nach der Perspectiv-Kunst zu erleichtern. Nach der Methode des Chevalier de Brunel-Varennes, ehem. Hauptmannes des Genie-Wesens, Ludwigs-Ordens-Ritters, Erfinders dieses Instrumentes und Verfassers des Werkes: l'Art du Dessin chez les Grecs etc. etc.Diesem Instrumente wird ein Quart-Band, enthaltend die Erklaͤrung des Gebrauches desselben und ein neues System der Perspectivkunst mit zwei gestochenen Blaͤttern und mehreren synoptischen Tabellen, beigegeben werden. Man unterzeichnet fuͤr das Ganze mit 40 Franken. Die Subscribenten belieben ihre Addresse portofrei an den Hrn. Verf. Chevalier de Brunel-Varennes etc. Paris, rue de Baune, F. S. G. N. 5., oder an die HHrn. Treuttel und Wuͤrtz, Paris, rue de Bourbon, N. 17., oder Straßburg, rue des Serruriers, einzusenden. Den Betrag bezahlen sie nach Empfang des Werkes. A. d. O.Der Hr. Chevalier de Brunel-Varennes, welcher alle Unfaͤlle der Revolution erfahren hat, beschaͤftigte sich mitten in dem Ungluͤke, das ihn traf, mit der Ausarbeitung seines Werkes: l'Art du Dessin chez les Grecs, das den Beifall der Academie royale des Beaux-Arts im J. 1816 erhielt. Seit dieser Zeit wendete er seine Muße auf die Ausfuͤhrung seiner Theorien. Die Akademie der schoͤnen Kuͤnste empfahl das Resultat derselben dem Hrn. Minister des Inneren im J. 1824, allein, ungeachtet dieser Empfehlungen, konnte der Hr. Verfasser die Unterstuͤzung nicht erhalten, die zur Herausgabe eines Werkes von 1200 Seiten Text und 32 Blaͤttern in Folio nothwendig waren. Der Hr. Verfasser zog daher aus diesem Werke, das er unter dem Titel Pantographie herausgeben wollte, nur dasjenige aus, was auf die Kunst des Perspectives zunaͤchst Bezug hatte, und reducirte sein urspruͤngliches Werk auf ein Viertel.Waͤhrend er mit diesem Auszuge beschaͤftigt war, gerieth er auf die Entdekung des hier beschriebenen Holometers. Das Papier, auf welchem der Abdruk gemacht wurde, wird troken auf einem starken Kartenpapier oder Pappendekel aufgezogen, der ruͤkwaͤrts mit einem Streifen von einer Kupferplatte unterstuͤzt wird, und dadurch mehr Festigkeit gewinnt, auch das Durchdringen der Spizen der Schenkel des Zirkels hindert. A. d. O., aus dem Texte ausgezogen.Wir haben bereits mehrere sogenannte Proportional-Zirkel und geometrische Maschinen, wenn man so sagen darf, die dem Geometer seine Zeit verderbenden Arbeiten kuͤrzen. Ueberhaupt ist der ganze praktische Theil der Mathematik, in deren theoretischem der menschliche Geist sich in seiner hoͤchsten Groͤße und Feinheit zeigt, reines mechanisches Treiben, wie, in fruͤheren Zeiten, Hr. von Kempelen durch seine Schach-Maschine, in neueren Hr. Babbage durch seine Rechen-Maschine jedem, der daran zweifeln koͤnnte, klar erwiesen hat. Es ist, wie es scheint, lediglich der der menschlichen Natur eingefleischten Faulheit zuzuschreiben, daß Erfindungen, wie jene, durch welche praktische Mathematik aus das bloße Spiel gewisser mechanischer Vorrichtungen zuruͤkgefuͤhrt wird, an uns voruͤber gleiten, als ob sie uns gar nicht angingen. Mathematiker von Profession, vertieft in ihre x und y und Sin. und Cosin., betrachten diese Vorrichtungen gewoͤhnlich als Spielereien, als sogenannte Faulenzer; sie wollen immer, daß man dieselbe Sache von vorne anfange, und wollen, so scheint es beinahe, waͤhrend sie anderes Spiel verbiethen, immer selbst etwas zu spielen haben. Der praktische Mathematiker, als Arithmetiker, Geometer, Mechaniker etc. kennt die Kostbarkeit der Zeit besser, und hat sich eine Menge Faulenzer ausgedacht, die ihm die kostbare Zeit ersparen helfen. Die sogenannten Rechnungs-Lineale sind jezt, wenigstens in England und Frankreich, in der Tasche aller Maurer und Zimmerleute: bei uns sind sie noch immer zu wenig gekannt.Bei der Vollkommenheit, welche der sel. Ritter von Reichenbach der Theilungs-Maschine zu geben wußte, muͤssen alle sogenannten Proportional-Maschinen in der Geometrie und in den verschiedenen Theilen derselben nothwendig gewinnen, und wir zweifeln nicht, daß der aͤußerst geschikte Neffe dieses großen Mannes, dem die Werkzeuge seines großen Onkels zu Gebote stehen, der ruͤhmlich bekannte Hr. Mechaniker Reichenbach zu Reichenhall, wenn dieser Holometer den Beifall der Geometer gewinnt, uns denselben auf eine weit genauere Weise und wohlfeiler verfertigen wird, als wir denselben aus Paris nicht erhalten werden.Wir koͤnnen uͤbrigens eine Idee nicht unterdruͤken, die wir in Hinsicht auf Verfertigung mathematischer, in Grade getheilter, Instrumente schon in dem ersten Augenblike hatten, als uns Probestuͤke der in England so sehr vervollkommneten Kunst in Stahl zu stechen und zu aͤzen, zu Gesichte kamen. Daß diese Kunst jezt auch auf dem festen Lande, und zwar in Deutschland, auf eine Stufe von Vollendung gebracht wurde, die nichts mehr zu wuͤnschen uͤbrig laͤßt, beweisen die herrlichen Stahl-Platten in Freiherrn von Cotta's Taschenbuch fuͤr Damen 1829. Wie waͤr' es nun, wenn man, Statt jeden Kreis, jeden Quartanten oder Sextanten besonders in die Messing-Platte zu schneiden, sich eine Matrize fuͤr gewisse haͤufig gebraͤuchliche Instrumente in Stahl aͤzte, und die Stahl-Platte auf die weiche Messing- oder Kupfer-Platte mit einer starken Presse abdrukte? Daß dadurch unendlich an Zeit gewonnen wuͤrde daß die Instrumente eben dadurch wohlfeiler werden koͤnnten, ist offenbar. Ob dieß aber moͤglich ist, werden die Werkmeister wissen. Andere sprechen nur wie Blinde von der Farbe, und es ist im Reiche der Ideen sehr selten, daß eine blinde Henne auch ein Koͤrnchen findet.A. d. Ue.. Aus dem Recueil industriel. Januar 1829. S. 42., Maͤrz, S. 264. und April S. 44. Mit einer Abbildung auf Tab. VI. Chevalier de Brunnel-Varennes' Holometer. Beschreibung dieses Instrumentes. Um einen staͤhlernen Drehestift, der in Form eines umgekehrten Kegels bis auf die Hoͤhe der Flaͤche des Instrumentes ausgehoͤhlt ist, so daß die unterste Spize desselben genau mit dem Scheitel des Winkels correspondirt (den die Grad-Bogen messen), dreht sich ein durchgeschlagenes (gefenstertes) Lineal, das mit einem Haare versehen ist, welches mittelst einer Stellschraube gespannt werden kann, und, indem es mit einem Male die Abtheilungen aller Bogen durchlaͤuft, alle Linien vertritt, die man von dem Scheitel dieses Winkels, oder von dem gemeinschaftlichen Mittelpunkte aller dieser Bogen aus nach jeder dieser Abtheilungen ziehen kann, so daß dadurch die Verwirrung vermieden wird, die durch das Zeichnen dieser Linien entstehen muͤßte; es gibt auf diese Weise nicht nur die verhaͤltnißmaͤßigen relativen Maße eines jeden dieser Bogen, sondern lehrt auch die Verhaͤltnisse zwischen denselben kennen, so daß man mittelst der natuͤrlichen Maßstaͤbe O und P, oder auch der Graduirung der Basis des Instrumentes, außer den gesuchten graphischen Verhaͤltnissen, auch ihre Zahlenwerthe erhaͤlt, sowohl in Bezug auf was immer fuͤr eine Groͤße, die man als Einheit betrachtet, als in Hinsicht auf jeden verlangten Zahlenwerth. Wenn man irgend ein graphisches oder numerisches Verhaͤltniß bestimmen oder kennen lernen will, so bedarf es nur einer einzigen Bewegung des Zirkels; einer Bewegung, die, fuͤr den ersten Fall, dadurch geschieht, daß man, von dem Drehestifte aus, von der horizontalen Lage in eine senkrechte uͤbergeht, und, im zweiten Falle, von lezterer in die erstere; indem man von einem der Punkte der Basis zum Scheitel des Winkels, oder zum Mittelpunkte der Drehung zuruͤkkommt. Die Angabe der Art und Weise, wie einige geometrische und perspectivische Aufgaben mittelst dieses Instrumentes aufgeloͤst werden koͤnnen, wird hinreichen, um die Brauchbarkeit dieses Instrumentes allen Geometern und Zeichnern zu beweisen.     Anwendung dieses Instrumentes. Gerade Linien.                         Bogen E, F, G, H, I. (1) Irgend einen Decimal-Bruch auf einer gegebenen geraden Linie bestimmen. Aufloͤsung. Man fuͤhrt das Haar des Lineales auf den verlangten und auf dem Bogen E angedeuteten Bruch; traͤgt, vom Drehestifte aus, die Laͤnge der gegebenen geraden Linie auf die untere Linie des großen Winkels, auf die Basis des Holometers, uͤber; schwenkt den Zirkel auf der entgegengesezten Spize, fuͤhrt ihn senkrecht und zieht die andere Spize so lang ein, bis sie genau das Haar beruͤhrt. Die dadurch erhaltene lezte Oeffnung des Zirkels gibt den verlangten Bruch der gegebenen Linie. 2) Mittelst der auf der Basis aufgezogenen parallelen Linien ist man der senkrechten Lage der oberen Spize des Zirkels gegen jene, die auf dieser Basis ruht, gewiß, indem die Zwischenraͤume zwischen den Parallelen zu klein sind, als daß man einen bedeutenden Fehler in dieser Hinsicht begehen koͤnnte. (2) Eine, in einem gegebenen Verhaͤltnisse, z.B. wie 10 zu 7, groͤßere Linie als eine gegebene Linie zu bestimmen. Aufloͤsung. Man fuͤhrt das Haar auf die Abtheilung 70 des Bozens E; traͤgt die Groͤße der gegebenen Linie auf der Basis senkrecht auf, indem man diese mit der unteren Spize des Zirkels so lang durchlaͤuft, bis die obere Spize das Haar genau beruͤhrt, und fuͤhrt diese Spize endlich horizontal zuruͤk, indem man den Zirkel so lang oͤffnet, bis sie den Mittelpunkt des Drehestiftes beruͤhrt. Diese lezte Oeffnung des Zirkels gibt die verhaͤltnißmaͤßig groͤßere Ausdehnung der gegebenen Linie. 2) Wenn man das Verhaͤltnis 24 : 7 verlangt haͤtte, so haͤtte man offenbar das Haar auf die Abtheilung 7/24 des Bogens I fuͤhren muͤssen. Das Uebrige geschieht, wie oben, fuͤr dieses Verhaͤltniß, so wie fuͤr jedes andere. (3) Wenn zwei gerade Linien von ungleicher Groͤße gegeben sind, das Verhaͤltniß bestimmen, das zwischen beiden Statt hat. Aufloͤsung. Man traͤgt die groͤßere Linie, von dem Drehestifte aus, auf der Basis auf, und bemerkt den Punkt, auf welchen die entgegengesezte Spize faͤllt, was durch Zaͤhlung auf der Basis leicht moͤglich ist; man traͤgt ferner uͤber diesen Punkt senkrecht die kleinere Linie auf, und fuͤhrt das Haar auf die obere Spize des Zirkels. Der auf dem Bogen E angedeutete Bruch gibt das gesuchte Verhaͤltniß. 2) Bei einiger Uebung wird man auf diesem Bogen leicht jeden Decimal-Bruch auf ein Tausendtheil bestimmen koͤnnenDieß koͤnnte wohl auch mittelst eines Vernier geschehen.A. d. Ue.. 3) Da ferner der Lauf des Haares sich auf alle Bogen des Holometers erstrekt, so wird es oͤfters sich treffen, daß das Haar genau einen gewoͤhnlichen Bruch auf den Bogen F, G, H, I trifft. Wenn, im vorigen Falle, das Haar uͤber 75 des Bogens E liefe, so koͤnnte man sagen, daß das Verhaͤltniß zwischen den beiden Linien, wie 100 : 75 ist; oder wie 10 : 7,5. Wenn man aber die anderen Bogen betrachtet, so findet man, daß dasselbe Verhaͤltniß wie 30 : 27, oder wie 4 : 3, oder wie 28 : 21 ist, oder auch wie 12 : 9, d.h. im einfachsten Ausdruke, daß die kleinere Linie drei Viertel der groͤßeren betraͤgt. (4) Es sey eine gerade Linie gegeben; man verlangt einen Bruchtheil derselben, der, so wie er ausgedruͤkt ist, auf keinem der Bogen dieses Holometers angegeben ist. Dieser Bruch sey 7/15. Aufloͤsung. Es ist klar, daß, wenn man hier den Zaͤhler durch den Nenner theilt, oder 7 durch 15, man als Quotienten den Decimalbruch 0,4666 erhaͤlt, oder 46 Hundertel 2/5, was sich (nach [1]) auf dem Bogen E nehmen laͤßt, und die verlangten 7/15 der verlangten Linie geben wird. (5) Eine gegebene gerade Linie in eine gewisse Anzahl Theile, mehr einen Bruche eines dieser Theile theilen; z.B. in 13 + 1/2. Aufloͤsung. Man sage 13 × 3 = 39 + 1 = 40; dann 39/40 = 0,975 oder 97 Hundertel 1/2, was man, (nach [1]) mit der ganzen gegebenen geraden Linie, nimmt, und, auf leztere zuruͤk gefuͤhrt, einen Bruchtheil am Ende derselben von 1/3 des verlangten Theiles zuruͤklaͤßt. Das Dreifache dieses Bruches ist das Dreizehntel + der gegebenen Linie. Auf aͤhnliche Weise erhaͤlt man in allen uͤbrigen Faͤllen aͤhnliche Resultate. Winkel und schiefe Linien, Bogen A,B,C und D. Vorlaͤufige Anmerkung. (6) Wenn man in der praktischen Geometrie zur Bestimmung oder Pruͤfung der Winkel, so wie zur Theilung der schiefen Linien, verschiedene Mittel hat, die, vielleicht mit geringerem Vortheile, Statt des Holometers gebraucht werden koͤnnen; so ist dieß nicht der Fall in der Perspectivkunst, wo sich, zumal bei der schiefen Perspective, so viele Schwierigkeiten finden, daß, mit Ausnahme der Gemaͤhlde, die nach der Natur copirt sind, bei allen uͤbrigen der groͤßte Theil der Kuͤnstler gezwungen ist, sich an die Perspective der Vorderseite zu halten, und daß diese Kuͤnstler die Monotonie, die durch die Richtung aller sogenannten Fluchtlinien (fuyantes) nach dem Mittelpunkte des Gemaͤhldes entstehen zu muͤssen scheint, nur dadurch vermeiden koͤnnen, daß sie den Gesichtspunkt mehr oder minder von diesem Mittelpunkte entfernen: ein Verfahren, dessen geringster Nachtheil darin besteht, daß derjenige, der das Gemaͤhlde beschaut, diesen neuen Gesichtspunkt erst suchen muß, der ein Bruchtheil seyn wird. 2) Es ist wahrscheinlich, daß diese Kuͤnstler diesen Nachtheil, (der aus vielen Gruͤnden, die es zu weitlaͤuftig seyn wuͤrde hier alle aufzufuͤhren, sehr bedeutend ist) vermeiden wuͤrden, wenn sie ein Mittel bei der Hand haben wuͤrden, die verlangte Wirkung mit Leichtigkeit zu erhalten, und, in dieser Hinsicht, den Fluchtlinien jene Richtung zu geben, sowohl nach dem Inneren des Gemaͤhldes als nach außen, welche sie hierzu geeignet finden, ohne den Gesichtspunkt, welcher im Mittelpunkte des Gemaͤhldes, d.h. im Durchschnittspunkte der Senkrechten mit dem eingebildeten Horizonte, seyn muß, deßhalb zu verruͤken. 3) Diesen Betrachtungen, welchen der Verfasser alle Aufmerksamkeit schenkte, um die Perspectivkunst zu vereinfachen, und den hieruͤber angestellten Untersuchungen verdankt das Holometer seine Entstehung, mittelst dessen die schiefe Perspective eben so leicht wird, als die gerade. 4) Um die Darstellung und die Beweise fuͤr beide Perspektiven jedem Leser so begreiflich als moͤglich zu machen, und da ferner, aus Gruͤnden, die wir spaͤter entwikeln werden, der Unterricht in der Perspective und in der Zeichenkunst gleichzeitig gegeben werden muß; so sichte ich die Definitionen oder Erklaͤrungen der Operationen und der Linien, die zur Bestimmung der Winkel und der Eintheilung der schiefen Linien dienen, so viel moͤglich zu erleichtern. Diese Linien sind vorzuͤglich die Tangenten und die Sinus. (7) Bemerkung. Wenn wir, entweder in Hinsicht auf geometrische oder auf perspektivische Operationen von einer Horizontalen sprechen, so verstehen wir darunter immer eine gerade Linie, die entweder durch ihre eigene Lage, oder dadurch, daß sie mit der Basis oder mit dem eingebildeten Horizonte des Gemaͤhldes parallel laͤuft, dem Auge horizontal zu seyn scheint. (8) Man seze, es sey durch irgend einen Winkel eines rechtwinkeligen Vierekes ein Kreisbogen gezogen, dessen Halbmesser gleich ist einer der Seiten dieses Vierekes, zwischen welcher dieser Kreis eingeschrieben ist, so wird die, dem Mittelpunkte dieses Kreises gegenuͤberstehende Seite eine Tangente von 45°. Innerhalb derselben sind alle Tangenten von 0° bis auf 45° begriffen. Man darf also nur senkrecht, uͤber dem Ende des horizontalen Halbmessers, die verhaͤltnißmaͤßige Tangente eines verlangten Winkels auftragen, um denselben geometrisch oder perspectivisch mittelst des Holometers zu bestimmen. 2) Man sucht irgend eine unbestimmte Linie, die mit einer Horizontalen einen Winkel von 37° 20' bildet. 3) Aufloͤsung. Man fuͤhrt das Haar auf 37° 20' oder auf 37 4/12 Grad des Bogens A. Man nimmt auf der Horizontalen irgend eine Laͤnge, als Halbmesser, und, nachdem man (nach 1) die verhaͤltnißmaͤßige Laͤnge der Tangenten genommen hat, traͤgt man sie senkrecht auf dem Ende des auf der Horizontalen genommenen Halbmessers auf. Durch den Anfangspunkt dieser lezteren und durch das obere Ende der Tangente zieht man die verlangte schiefe Linie. (9) Den Werth eines gegebenen Winkels zu finden. Man verfaͤhrt umgekehrt, wie vorher ((8)3). (10) Die unendliche Laͤnge, welche die Tangente von 45° (nach 8) erhalten wuͤßte, um mit allen uͤbrigen Tangenten von 45° bis 90° im Verhaͤltnisse zu bleiben, gestattet nicht den Gebrauch derselben. Man traͤgt daher, um diesem Nachtheile abzuhelfen, auf dem horizontalen Halbmesser von seinem Anfangspunkte an die Cotangenten der Complements-Winkel auf, und errichtet senkrecht auf ihrem Ende die ganze Laͤnge des Halbmessers. Durch das obere Ende dieses lezteren und durch den Anfangspunkt der Horizontalen zieht man die verlangte unbestimmte schiefe Linie. (11) Bemerkung. Complements-Winkel heißt man denjenigen, der mit einem anderen Winkel einen rechten Winkel bildet, oder den Unterschied zwischen einem gegebenen und einem rechten Winkel. Der Complements-Winkel eines Winkels von 25° wird also 65°; denn 90 – 25 = 65. 2) Supplement-Winkel ist derjenige, der zu Einem oder zu mehreren Winkeln zugesezt werden muß, um eine Horizontale, oder einen Winkel von 180° zu bilden. Es sey ein Winkel von 35° + 90°. Der Supplements-Winkel hierzu wird 55° halten. Denn 35 + 90 = 125; und 180 – 125 = 55. 3) Um also einen stumpfen Winkel zu bilden, muß man seinen Supplement-Winkel finden. Es sey der verlangte Winkel 138° 20'; so wird man zuerst, (nach 8), seinen Supplements-Winkel, 41° 40' bestimmen muͤssen. (12) Man verlangt eine schiefe Linie, die mit einer Horizontalen einen Winkel von 73° bildet. Aufloͤsung. Man nimmt (nach 1) mit irgend einem Halbmesser auf dem Bogen B die diesem Halbmesser proportionale Cotangente des Complement-Winkels (17°), und traͤgt sie auf der Horizontalen auf etc., wie in (10) angegeben wurde. (13) Eine schiefe Linie scheint mit der Horizontalen einen Winkel von mehr als 45° zu bilden; man soll die Groͤße dieses Winkels bestimmen. Aufloͤsung. Wenn man, vor Allem, wissen will, ob dieser Winkel groͤßer ist als 45°, so darf man sich nur erinnern, daß die Tangente eines Winkels von 45° dem Halbmesser gleich ist, und sie dann senkrecht auf dem Ende des Halbmessers aufrichten. Wenn sie die schiefe Linie nicht erreicht, so ist der Winkel wirklich groͤßer als 45°. In diesem Falle muß man (nach 3) das umgekehrte Verfahren von dem vorigen (12) einschlagen. (14) Es ist kein Zweifel, daß man in der praktischen Geometrie obige Aufgaben weit leichter und schneller mit dem gewoͤhnlichen sogenannten Transporteur oder Rapporteur aufzuloͤsen vermag; wenn aber, auf der einen Seite, wo diese Aufgaben mit derselben Genauigkeit und in demselben Umfange geloͤst werden sollten, wie mit dem Holometer, der Rapporteur entweder einen eben so großen Halbmesser haben, oder mit einem Vernier versehen seyn muͤßte, der ihn weit theurer machen wuͤrde, als das Holometer, das man auch zu anderen Arbeiten brauchen kann, und nicht allein bloß zu dieser; so darf man, auf der anderen Seite, auch nicht vergessen, daß die Aufloͤsung dieser Aufgaben sich auf schiefe Linien bezieht, die ganz unzugaͤngig sind, und auf welche man daher nicht unmittelbar einwirken kann, wie es bei den schiefen Linien der Perspective der Fall ist. 2) Man wird weiter unten sehen, daß die Aufloͤsung dieser Aufgaben, so wie der folgenden, der praktischen Geometrie selbst nicht so ganz fremd ist, wie es beim ersten Anblike scheinen sollte, indem sie sich in einigen Faͤllen auch mit Vortheil auf topographische Arbeiten anwenden laͤßt, welcher sie neue, auf mein System der Perspective gegruͤndete, Mittel darbietet, deren aͤußerste Genauigkeit sich auch durch die Anwendung derselben auf die Natur selbst erwiesen findet. Wir gehen indessen auf die Anwendung der Sinus uͤber. (15) Wenn man in demselben Viereke (8) aus dem Mittelpunkte des eingeschriebenen Bogens eine Diagonale zieht, und wenn man aus dem Durchschnittspunkte dieser Diagonalen mit diesem Bogen eine Senkrechte auf die untere Seite des Vierekes herablaßt, oder auf den horizontalen Halbmesser, so wird diese Senkrechte der Sinus des Winkels von 45°. 2) Die Groͤße dieses Sinus ist gleich jener des Cosinus desselben Winkels, und proportional mit dem Halbmesser. Wenn man diesen lezteren als Einheit annimmt, so verhaͤlt er sich zum Sinus oder Cosinus wie 1 : 0,7091, wie man auf dem Holometer sieht. (16) Die Groͤße der Sinus, die man aus dem Bogen des Kreises (8) auf den horizontalen Halbmesser herablassen kann, nimmt fortwaͤhrend von 0° bis auf 90° zu. Die der Cosinus, die immer den Sinus der Complements-Winkel gleich sind (11), nimmt, im Gegentheile, von 0° bis auf 90° immer ab. (17) Fuͤr alle folgende Saͤze gilt die Bemerkung, und vorzuͤglich in Hinsicht auf Perspective, daß die Sinus immer eine senkrechte oder verticale (perpendiculaire ou verticale), die Cosinus immer eine horizontale Lage haben. (18) Bemerkung. Ich bediente mich (in 17) der Ausdruͤke: „senkrechte oder verticale,“ weil, in der Perspective, beide etwas Verschiedenes bezeichnen. Die Senkrechte (perpendiculaire) bezeichnet jede Linie, welche mit der Basis oder mit der Grundlinie des Gemaͤhldes einen Winkel von 90° bildet, und sich nach dem Mittelpunkte des Gemaͤhldes, nach dem Gesichtspunkte, richtet. Die zweite, die verticale (verticale) bezeichnet jede Linie, die senkrecht auf die Erdflaͤche auffaͤllt, und, in der Perspective, parallel mit den Seiten des Gemaͤhldes, so wie mit einer eingebildeten Verticalen laͤuft, durch welche das Gemaͤhlde in dieser Ruͤksicht in zwei gleiche Theile getheilt wird: die also, wie die eingebildete Horizontale, immer nur zu den Arbeiten der Perspective dient. (19) In jedem rechtwinkeligen Dreieke sind die beiden kleineren Seiten Sinus und Cosinus eines jeden der beiden spizigen Winkel. Die Summe ihrer Quadrate ist gleich dem Quadrate der Hypothenuse oder der schiefen Linie, deren Groͤße immer dem Halbmesser des um dieses Dreiek umschriebenen Bogens gleich ist. (20) Man kann mittelst dieser Sinus, wie mittelst der Tangenten, die Winkel bestimmen oder pruͤfen; die Anwendung der Tangenten (nach 8, 9, 12 und 13) ist jedoch, vorzuͤglich in Hinsicht auf Perspective, jener der Sinus vorzuziehen, weil sie einfacher ist, und alle Rechnung uͤberfluͤssig macht. 2) Auf der anderen Seite lassen sich aber die Tangenten nur auf die Richtung der schiefen Linien, nicht aber auf ihre Groͤße oder Theilung anwenden, welche nur durch die proportionalen Cosinus in Zahlen ausgedruͤkt werden koͤnnen. (21) Auf eine unbestimmte gegebene Horizontale eine schiefe Linie zeichnen, die mit derselben einen verlangten Winkel bildet, und eine in Zahlen ausgedruͤkte Laͤnge besizt. Der verlangte Winkel habe 34° 45'; die verlangte Groͤße sey 56 Fuß. Aufloͤsung. Man nimmt mit irgend einer Groͤße, als Halbmesser, (nach 8) mit dem Bogen A, die Tangente von 34° 45' oder 9/12, und bestimmt die Richtung der schiefen Linie von unbestimmter Laͤnge. 2) Man fuͤhrt das Haar auf 34° 3/4 des Bogens D der Cosinus. Nenn man keinen bestimmten Maßstab hat, nimmt man senkrecht uͤber 56 1/2 der Basis des Holometers den dieser Groͤße proportionellen Cosinus, so wie ihn das Haar gibt, und traͤgt ihn auf der Horizontalen von ihrem Anfangspunkte auf. Endlich errichtet man auf ihrem Ende eine Senkrechte, deren Durchschnitt mit der Schiefen die verlangte Groͤße gibt. (22) Eine schiefe Linie in irgend eine Anzahl proportionaler Theile graphisch oder numerisch zu theilen. Aufloͤsung. Wenn die Theilung graphisch geschehen soll, und der Winkel und die Groͤße der schiefen Linie bekannt sind, darf man bloß (nach (21) 2) auf der Horizontalen den Cosinus des der Groͤße der schiefen Linie proportionalen Winkels bestimmen, und diesen Cosinus (nach 1, 4 oder 5) durch die Zahl der verlangten Theile theilen, und aus jedem Theilungs-Punkte Senkrechte errichten. Die Durchschnitte dieser Senkrechten mit der Schiefen werden die verlangte Theilung der lezteren geben. 2) Wenn die Theilung graphisch geschehen soll, und der Winkel und die Groͤße der schiefen Linie unbekannt sind, so darf man nur, nachdem man, nach irgend einem Maßstabe, die verlangte Zahl der Abtheilungen auf die Horizontale aufgetragen hat, durch das Ende der lezteren und durch das der schiefen Linie eine Linie fuͤhren, mit welcher man Parallele durch jede Theilung der Horizontalen zieht: die Durchschnittspunkte der Parallelen mit der schiefen Linie geben die verlangte Theilung der Lezteren. 3) Anmerkung. Dieses leztere von mehreren Schriftstellern angegebene Verfahren ist, ohne Zweifel, das moͤglich einfachste, indem fuͤr die Perspektive alle nach demselben Punkte gezogenen Linien, wo er immer liegen mag, unter sich parallel sind. Allein, außer dem, daß oͤfters die Groͤße der schiefen Linie es nothwendig machen wuͤrde, bei dieser Theilung uͤber das Gemaͤhlde hinauszugehen, wuͤrde diese, da sie aus diesem Grunde unzureichend ist, auch falsch seyn, wenn die Theilung der schiefen Linie numerische Groͤßen ausdruͤken soll, die sich auf unzugaͤngigen oder perspectivischen Linien nur mittelst der proportionalen Cosinus bestimmen lassen. Man koͤnnte allerdings diese lezteren entweder durch Rechnung oder mittelst des Proportional-Zirkels finden, allein mit weit groͤßerer Muͤhe, als mittelst des Holometers, der hier, so wie in anderen Faͤllen, die Arbeit ungemein erleichtert, wie die Erfahrung zeigen wird. (23) Wenn die Theilung einer schiefen Linie in numerischen gegebenen Theilen geschehen soll, so darf man nur (nach 21,2) mit den verlangten numerischen Groͤßen, die nach einem gegebenen Maßstabe genommen wurden, die proportionalen Cosinus nach dem Winkel der schiefen Linie nehmen, den man (nach 9) pruͤfen muß, wenn er noch nicht bekannt waͤre; diese Cosinus auf die Horizontale auftragen, und von dem Ende eines jeden derselben Senkrechte errichten, deren Durchschnitte mit der schiefen Linie die numerische Theilung derselben geben werden. (24) Eine schiefe Linie, deren Anfangspunkt auf einer Horizontalen ruht, oder zu ruhen scheint, sey unter einem beliebigen Winkel in einer beliebigen Groͤße gegeben; man soll eine andere Linie zeichnen, die mit ihr einen rechten Winkel bildet. Aufloͤsung. Der zu findende Winkel ist nothwendig ein Supplements-Winkel ((11)2) in Hinsicht auf die zwei bekannten Winkel, und ein Complements-Winkel (11) in Hinsicht auf den Winkel der schiefen Linie mit der Horizontalen, indem der Zwischen-Winkel 90° seyn muß. Es sey also der Winkel der schiefen Linie 40°, so wird offenbar der entgegengesezte Winkel 50° seyn muͤssen. 2) Hieraus folgt, daß der Sinus des Einen gleich ist dem Cosinus des Anderen, wie der Cosinus des Ersten gleich ist dem Cosinus des Zweiten. 3) Die graphische oder perspectivischeperspectifische Aufloͤsung laͤßt sich also, wenn die Richtung der gegebenen schiefen Linie von der Linken zur Rechten ist, darauf zuruͤkfuͤhren, daß man horizontal, links von dem Anfangspunkte der Schiefen, ihren Sinus, als Cosinus des entgegengesezten Winkels auftragt, und auf dem Ende dieses Cosinus, senkrecht, als Sinus, den Cosinus derselben; endlich, durch das Ende dieses Sinus und den Anfangspunkt der schiefen Linie eine schiefe Linie in entgegengesezter Richtung fuͤhrt, die mit derselben einen rechten Winkel, oder einen Winkel von 90° bilden wird. (25) Auf einer schiefen Linie als Seite eines vollkommenen Rechtekes die drei uͤbrigen Seiten errichten. Aufloͤsung. Nachdem man nach (24) verfahren, wodurch man zwei Seiten und drei Winkel des verlangten Vierekes erhaͤlt, laͤßt man von dem Ende des einen oder des anderen der zwei Cosinus innerhalb auf die Horizontale den einen oder den anderen der zwei Sinus, herab, und errichtet aus dem auf der Horizontalen gefundenen Punkt eine Senkrechte, die der Basis, oder der Summe der beiden Sinus gleich ist. Das obere Ende dieser Senkrechten wird den vierten Winkel des gesuchten Vierekes bilden. (26) Die Sehne eines Kreisbogens oder eines verlangten Winkels im Verhaͤltnisse zu einem gegebenen Halbmesser zu finden. Aufloͤsung. Man nimmt (nach 1) mit dem Bogen C und dem gegebenen Halbmesser den Sinus eines um die Halste kleineren Winkels, und die verhaͤltnißmaͤßige Groͤße doppelt. 2) Man kann auch ganz einfach den proportionalen Sinus des verlangten Winkels mir dem doppelten Halbmesser des gegebenen nehmen, der gleichfalls die verlangte proportionale Sehne seyn wird. 3) Beide diese in geometrischer Hinsicht zureichende, Verfahrungsweisen taugen fuͤr die Perspective nicht, wo man nie Sehnen brauchen kann. Flaͤchen. Bogen K. (27) Eine Flaͤche, sie mag so unregelmaͤßig seyn, als man will, laͤßt sich in ein rechtwinkeliges Vierek einschreiben, und die Groͤßen aller ihrer Theile lassen sich auf Laͤnge und Breite zuruͤkfuͤhren. 2) Die verhaͤltnißmaͤßige und relative Ausdehnung einer jeden dieser beiden Dimensionen mag wie immer beschaffen seyn, so betrachten wir, vorzuͤglich in der Perspective, die erstere immer als perpendiculaͤr auf die leztere, welche immer als horizontal angenommen wird (7). 3) Alle Verhaͤltnisse, die nach der Richtung der Laͤnge genommen werden, werden demnach Ordinaten seyn, und jene die nach der Richtung der Breite genommen werden, Abscissen. (28) Eine Flaͤche in einem verlangten Verhaͤltnisse verjuͤngen oder verkleinern. Verfahren. Man nimmt (nach 1) mit dem Bogen K die Verjuͤngung der einen oder der anderen Groͤße, nach der durch die Zahlen auf diesem Bogen gegebenen Anzeige. (29) Bei verhaͤltnißmaͤßiger Vergroͤßerung derselben Flaͤche waͤre das Verfahren (nach 2) das umgekehrte von dem vorigen. (30) Das Verhaͤltniß zwischen zwei aͤhnlichen, aber ungleichen, Flaͤchen finden. Verfahren. Es ist genug, wenn mit einer Groͤße gearbeitet wird, wobei man sich des Bogens K (nach 3) bedient. (31) Bemerkung. Mit einem T foͤrmigen Lineale, an welchem ein Haar oder ein Seidenfaden, der sehr stark angespannt ist, befestigt wurde, koͤnnte man mittelst dieses Bogens sehr leicht topographische Plane etc. verjuͤngen, und zwar um so leichter, als, wann einmal das verlangte Verhaͤltniß auf diesem Bogen bestimmt ist, man sich waͤhrend der ganzen Arbeit nicht mehr um dasselbe zu kuͤmmern braucht. 2) Es ist moͤglich, daß die zu verjuͤngenden Ausdehnungen groͤßer waͤren, als jene der Basis des Holometers. In diesem Falle muͤßte man mit einem Bruchtheile dieser Ausdehnungen arbeiten, der in dieser Basis Raum faͤnde. Das Resultat wird fuͤr die Bruchtheile eben so genau seyn, wie fuͤr das Ganze. Obschon dieses Instrument eine weit groͤßere Ausdehnung gestattet, als die gewoͤhnlichen Proportional-Zirkel, so muͤßte man in aͤhnlichen Faͤllen in Hinsicht anderer Verhaͤltnisse zu diesem Mittel seine Zuflucht nehmen. Koͤrper. Bogen L. (32) So wie jede Flaͤche sich in ein rechtwinkeliges Vierek einschreiben laͤßt, so laͤßt jeder Koͤrper sich in einen Wuͤrfel oder in ein rechtwinkeliges Parallelopiped einschreiben. 2) Man kann sodann alle Verhaͤltnisse oder Formen irgend eines festen Koͤrpers finden oder bestimmen, wenn man die Verhaͤltnisse findet oder bestimmt, welche zwischen allen Theilen dieses festen Koͤrpers und den drei Groͤßen des Wuͤrfels oder rechtwinkeligen Parallelopipedes, naͤmlich der Laͤnge, der Breite (2 bei 27) und der Hoͤhe Statt haben. 3) In der Perspective wird die Hoͤhe immer als perpendiculaͤr auf irgend eine der Erdflaͤchen, die mit dem eingebildeten Horizonte parallel sind, angenommen. Wir werden sie Erhoͤhung (Élévation) nennen, selbst wenn sie sich unter lezterem befinden sollte, oder unter dem Auge des Beschauers, weil man sie im Verhaͤltnisse auf jene Erdflaͤche betrachtet, auf welcher sie sich vertical erhebt (18). 4) Man ist in der Perspective uͤbereingekommen, Laͤnge und Tiefe als gleichbedeutend, als synonym, zu betrachten. Die Tiefe wird demnach immer als perpendiculaͤr auf die Flaͤche oder auf die Basis des Gemaͤhldes angenommen. (33) Einen Koͤrper in einem gegebenen Verhaͤltnisse verjuͤngen oder verkleinern. Verfahre n. Man darf nur vertical alle Spizen oder Eken des festen Koͤrpers auf die horizontale Flaͤche zuruͤkfuͤhren, und mit den drei Groͤßen desselben (nach 28), so wie bei den Flaͤchen verfahren, und hierbei sich des Bogens L bedienen. (34) Bei verlangter Vergroͤßerung eines Koͤrpers wird dieses Verfahren umgekehrt, so wie es in (2) angegeben wurde, wobei man sich des Bogens L bedient. (35) Das Verhaͤltniß zwischen zwei aͤhnlichen, aber ungleichen, Koͤrpern bestimmen. Verfahren. Wie in (3), nur daß man sich des Bogens L bedient, und nur eine der drei Groͤßen braucht. Vieleke. BogenM. (36) Mittelst des Bogens M des Holometers kann man (nach 1) geometrisch alle regelmaͤßigen von einem Kreise umschriebenen Vieleke bestimmen, wenn man als Einheit die verlangte Ausdehnung des Durchmessers dieses Kreises annimmt: das Resultat wird die verhaͤltnißmaͤßige Ausdehnung einer der Seiten des verlangten Vielekes. 2) Man kann auf diese Weise jeden Kreis in 3 oder in 360 Grade theilen: die gewoͤhnliche Eintheilung des Kreises. (37) Man kann ferner alle regelmaͤßigen und unregelmaͤßigen Vieleke mittelst der Tangenten und Sinus bestimmen, wenn man die Zahl der Seiten und ihre Ausdehnung, so wie die Winkel kennt, welche sie unter sich oder mit der gegebenen Horizontalen bilden. Dieß ist uͤbrigens das einzige Mittel, wonach man sie perspectivisch bestimmen kann, indem man hier nicht, wie in der Geometrie, die proportionelle Seite eines Vielekes auf den Kreis auftragen kann, der, im Perspective, immer mehr oder minder sich der Ellipse naͤhert. (38) Geometrisch, oder im Perspektive, ein regelmaͤßiges Vielek mittelst der Cosinus beschreiben. Verfahren. Man zeichnet zuerst den umschriebenen Kreis; nimmt hierauf (nach 2 von 21) mit dem Halbmesser dieses Kreises, die Cosinus aller Winkel, die von den schiefen, auf die Kanten des Vielekes gezogenen, Halbmessern und von dem horizontalen Halbmesser gebildet werden; traͤgt sie auf lezteren rechts und links vom Mittelpunkte, als vom gemeinschaftlichen Scheitel aller dieser Winkel, auf, und errichtet aus jedem auf diesem Halbmesser aufgetragenen Punkte Ordinaten (3 von 27), deren Durchschnitte mit dem umschriebenen Kreise das verlangte Vielek geben. 2) Bemerkung. Um die Untersuchung der Winkel zu vermeiden, deren proportionale Cosinus man zu obigem Verfahren nothwendig hat, hat der Verfasser eine synoptische Tabelle entworfen, in welcher sie fuͤr alle Vieleke angezeigt sind, die im Gebrauche vorkommen, dieselben moͤgen nun von der Vorderseile, oder von einem Winkel aus, oder selbst schief hin betrachtet werden. Mittelst dieser Tabelle wird obige Aufgabe fuͤr die Perspektive so einfach, als alle uͤbrigen Aufgaben nach dieser Methode es sind. Ellipsen. BogenN. (39) Nachdem man (nach 1) das verlangte Verhaͤltnis zwischen der großen und kleinen Achse gefunden hat, und von einem der Enden der kleinen Achse mittelst einer Ausdehnung, die der Haͤlfte der großen Achse gleich ist, auf dieser lezteren die Lage der beiden Brennpunkte bestimmt hat, laͤßt sich die Ellipse mittelst der Stifte und des Schnuͤrchens eben so leicht geometrisch zeichnen, als der Kreis. 2) Durch dieses, so wie durch jedes andere aͤhnliche Verfahren wird die krumme Linie, welche die Ellipse bildet, eben so vollkommen, wie jene des Kreises, indem, so wie in lezterem jeder Punkt seiner krummen Linie immer in demselben Verhaͤltnisse zum Mittelpunkte steht, dasselbe Verhaͤltniß fuͤr alle Punkte der krummen Linie der Ellipse gegen die beiden Brennpunkte Statt hat. 3) Dieses Verfahren laͤßt sich jedoch nicht zur Zeichnung einer sehr kleinen Ellipse auf irgend einer Flaͤche anwenden, und noch weniger im Perspective, wo die Ellipse, nach ihrer Entfernung und Lage, immer mehr oder minder entstellt seyn muß. 4) Man muß in diesem Falle zu Ordinaten und Abscissen (3 von 27) seine Zuflucht nehmen, und diese muͤssen in einem solchen Verhaͤltnisse gegen einander stehen, daß die durch ihre Durchschnittspunkte gezeichnete krumme Linie genau so ausfaͤllt, wie jene, welche unmittelbar nach obiger erster Angabe gezeichnet wurde. (40) Der Bogen N des Holometers gibt verhaͤltnißmaͤßige Maße dieser Ordinaten und dieser Abscissen. 2) Man nimmt sie (nach 1) auf diesem Bogen mit der Haͤlfte der einen und der anderen der beiden Achsen als Einheit betrachtet; man traͤgt die Ordinaten rechts und links vom Mittelpunkte auf der großen Achse auf, und die Abscissen uͤber und unter demselben Mittelpunkte auf der kleinen Achse, so daß, da die Durchschnitte der einen mit den anderen 28 sind, man zur Zeichnung der Ellipse 32 Richtungspunkte mit den vier Endpunkten der Achse zur Zeichnung haben wird. 3) Bemerkung. Die erste Ordinate durchschneidet die siebente Abscisse; die zweite die sechste etc., so wie die erste Abscisse die siebente Ordinate durchschneidet etc. (41) Obiges Verfahren laͤßt sich vereinfachen, indem man auf beiden Achsen, parallel mit denselben, ein rechtwinkeliges Vierek errichtet, und durch die gegenuͤberstehenden Winkel des lezteren Diagonale zieht, die, indem sie in denselben Punkten von den entgegengesezten Ordinaten und Abscissen durchschnitten werden, die Muͤhe ersparen koͤnnen auf dem Bogen N die Proportionalen Maße dieser lezteren zu nehmen. Es ist genug wenn man, nachdem man die ersteren bestimmte und zeichnete, von ihren Durchschnittspunkten auf den Diagonalen ausgeht, um horizontal, nach der in 3 von (40) angezeigten Ordnung, die correspondirenden Durchschnitte auf denselben Ordinaten zu erhalten: diese Durchschnitte werden dieselben seyn, wie jene in dem doppelten Verfahren (40). 2) Bemerkung. Da die krumme Linie der Ellipse durch die vier Durchschnitte der vierten Ordinate auf den Diagonalen durchlaͤuft, so koͤnnte man sich in der Perspective damit begnuͤgen, indem man, mit den vier Enden der beiden Achsen, auf diese Weise acht Richtungspunkte erhielte; eben so viel Punkte also, als man zur Zeichnung eines Kreises in perspectivischer Hinsicht gewoͤhnlich braucht, wo man gleichfalls die vier Endpunkte der zwei Durchmesser oder Achsen hat, und die vier Diagonalpunkte, welche durch den Cosinus von 45°, der dem Halbmesser proportional ist (2 von (15)), bestimmt werden. Hieraus erhellt die Brauchbarkeit dieses Holometers fuͤr die Zeichnung im Perspective, und man bekommt zugleich eine Idee von dem Systeme des Verfassers.