LXXXIII. Die Scheutz'sche Rechenmaschine; von Dr. H. Meidinger. (Schluß von S. 256 des vorhergehenden Heftes.) Mit einer Abbildung auf Tab. V. Meidinger, über die Rechenmaschine von Georg und Ed. Scheutz in Stockholm. In die Art und Weise, wie die beschriebenen Vorgänge durch Bewegungsmechanismen in der Maschine ausgeführt werden, können wir hier nicht näher eingehen. Zeichnungen sind darüber noch gar keine veröffentlicht, und nur über Babbage's Maschine sind einige allgemeine Bemerkungen und Andeutungen im Edinburgh Review gegeben. Da diese Maschine jedoch nicht vollendet wurde, so dürfte es auch kein allgemeineres Interesse haben, dieses Wenige ohne bildliche Darstellung mitzutheilen. Die Maschine von Scheutz ist bis jetzt in ihren Details noch ganz unbekannt. Zwei bemerkenswerthe Unterschiede lassen sich jedoch in beiden Maschinen charakterisiren. Die erstere Maschine sollte die ungeheuren Dimensionen von 10 Fuß hoch, 10 Fuß breit und 5 Fuß tief schließlich erreichen; sie sollte sechs Reihen von Differenzen erhalten und ihre Rechnungen bis auf achtzehn Ziffern ausdehnen, so daß sie im Ganzen siebenmal achtzehn oder 126 Zifferringe bekommen hätte. Sie wurde jedoch mit dem ungeheuren Aufwand an Mitteln thatsächlich bloß bis auf fünf Ziffern und zwei Differenzenreihen gebracht. Die Zahlen der Tabelle und der Differenzen befinden sich nicht in einer Horizontalreihe, wie wir in den obigen Figuren vorausgesetzt, und wie es ohne Zweifel am zweckmäßigsten in der Maschine von Scheutz ausgeführt wurde, sondern sie verlaufen vertical, so daß man die Zahlen von Oben nach Unten ablesen und ebenso die Differenzen einsetzen muß. Dadurch hätte natürlich die Maschine, wenn vollendet, die ganz erstaunlichen Dimensionen in die Höhe bekommen müssen. Die Maschine von Scheutz ist dagegen weit kleiner; sie besitzt bloß die Größe eines Tafelpianos; sie rechnet bis auf 15 Ziffern, die, wie oben bemerkt, in der Horizontalreihe stehen, und besitzt vier Ordnungen von Differenzen, weil man diese Anzahl für alle praktischen Fälle für ausreichend gefunden hat. Sie hat somit im Ganzen 75 Zifferringe. Es ist bis jetzt eine Seite der Rechenmaschine nur mehr im Vorübergehen angedeutet worden, die jedoch derselben ohne Zweifel ihre ganze praktische Bedeutung erst gegeben hat, nämlich der Druckapparat, in welchem die in der obersten Tabelle angezeigten Resultate gleich für den Druck stereotypirt werden. Dadurch ist denn allen Irrthümern vorgebeugt, die während des Setzens vorkommen können und die mühsame Correctur ist umgangen. In der Maschine von Scheutz sind es acht Ziffern, welche neben einander gedruckt werden können – eine für das Bedürfniß ausreichende Zahl. Ist die neunte Decimale größer wie 5, so muß in den gedruckten Tafeln die erste Decimale um eine Einheit vermehrt werden. Man erreicht dieß in der Maschine auf eine sehr einfache Weise dadurch, daß man beim Beginn der Rechnung die neunte Decimalstelle der obersten Reihe schon um 5 vermehrt. Soll eine geringere Zahl von Zifferstellen, z.B. bloß fünf gedruckt werden, so wird man in diesem Falle die sechste von Anfang an um 5 vergrößern. Die von der Maschine berechneten Zahlen der Tabelle werden, sobald sie am Ende einer halben Umdrehung der Kurbel erhalten sind, während der nächsten halben Umdrehung auf der Rückseite der Maschine durch Stahlstanzen in eine Bleiplatte in beliebiger Tabellenform eingepreßt, und von dieser Matrize alsdann auf galvanoplastischem oder anderem Wege eine gewünschte Anzahl von Druckplatten abgezogen. Diese Operation steht mit dem eigentlich rechnenden Theil der Maschine in keinem weiteren Zusammenhang, sie wird bloß unter dem Einfluß der obersten Horizontalreihe von Zifferringen vermittelt; wie dieselbe ausgeführt wird, darüber vermögen wir eben so wenig wie über die Rechnungsmaschinerie eine Auskunft zu ertheilen; die beigefügte perspektivische Zeichnung (Tab. V, Fig. 1) kann bloß einen allgemeinen Ueberblick über die ganze Maschine gewähren. In der Maschine von Babbage hatten für das Stereotypiren der Tafeln noch keine Vorbereitungen getroffen werden. In einem Punkt ist noch die vollendete Scheutz'sche Maschine, so viel bekannt, über das Project der ursprünglichen Maschine mit Glück hinausgegangen. Sie vermag nämlich eben sowohl fünfzehn dem Decimalsystem angehörige Zifferstellen zu berechnen, wie solche, die in Grade oder Stunden eingetheilt sind; und sie druckt dann ebenfalls die Stunden oder Grade, Minuten und Secunden, letztere bis auf eine Decimalstelle. Wäre, z.B. die Zahl 172345598714087 auf der obersten Horizontalreihe angezeigt, so würde im betreffenden Fall stereotypirt werden 172°34'55'',9. Es ist erklärlich, daß sich ein solches Resultat nur durch einen besondern, ohne Zweifel verwickelten Mechanismus erreichen läßt, da die Zehnerstelle der Secunden und Minuten nicht weiter wie 6 gehen darf, wo dann eine Einerübertragung zur Linken erforderlich ist. Und sobald bei den Graden die Zahl 360 voll geworden ist, müssen die Ziffern 3 und 6 wieder aus der Tafel verschwinden oder zu 0 werden. – Es läßt sich in der That die Fülle von Scharfsinn und Ausdauer, welche alle diese Schwierigkeiten zu überwinden gewußt, nicht hoch genug schätzen und bewundern! Eine der vielen merkwürdigen Eigenschaften, in deren Besitz man die Maschine nachträglich gefunden hat, ist, daß sie Zahlengleichungen lösen kann, welche rationelle Wurzeln besitzen. Um eine derartige Rechnung auszuführen, gibt man der Unbekannten x nach einander die Werthe 1, 2, 3 etc. und berechnet aus dem Zahlenwerth der Function, welchen man so erhält, eine hinreichende Anzahl von Differenzen, die man alsdann in die Maschine einsetzt. Bringt man die Maschine nun in Gang, so wird die Tafel die aufeinanderfolgenden Werthe der Gleichung für die fortschreitenden ganzen Zahlen der Unbekannten x aufweisen und am Ende auch einen oder mehrere Werthe geben, die mit dem durch die ursprüngliche Gleichung gegebenen Werth der Function zusammenfallen. Recht interessant in dieser Hinsicht ist die von der Maschine für die Gleichung u = x⁴ – 72 x³ + 1798 x² – 18072ˣ ausgerechnete Tabelle, der hier der Uebersicht halber gleich die Differenzen beigefügt worden sind. x u = – 1ste Differenz 2te Differenz. 3te Differenz. 4te Differ.   0 0 – 16345 3178 – 396 24   1 16345 – 13167 2782 – 372 24   2 29512 – 10385 2410 – 348 24   3 39897 –   7975 2062 – 324 24   4 47872 –   5913 1738 – 300 24   5 53785 –   4175 1438 – 276 24   6 57960 –   2737 1162 – 252 24   7 60697 –   1575   910 – 228 24   8 62272 –     665   682 – 204 24   9 62937 +      17   478 – 180 24 10 62920 +     495   298 – 156 24 11 62425 +     793   142 – 132 24 12 61632 +     935     10 – 108 24 13 60697 +     945 –  98 –   84 24 14 59752 +     847 – 182 –   60 24 15 58905 +     665 – 242 –   36 24 16 58240 +     423 – 278 –   12 24 17 57817 +     145 – 290 +   12 24 18 57672 –     145 – 278 +   36 24 x u = – 1ste Differenz 2te Differenz. 3te Differenz. 4te Differ. 19 57817 –     423 – 242 +   60 24 20 58240 –     665 – 182 +   84 24 21 58905 –     847 –   98 + 108 24 22 59752 –     945 +    0 + 132 24 23 60697 –     935 + 142 + 156 24 24 61632 –     793   298 + 180 24 25 62425 –     495   478 + 204 24 26 62920 –      17   682 + 228 24 27 62937 +     665   910 + 252 24 28 62272 +   1575 1162 + 276 24 29 60697 +   2737 1438 + 300 24 30 57960 +   4175 1738 + 324 24 31 53785 +   5913 2062 + 348 24 32 47872 +   7975 2410 + 372 24 33 39897 + 10385 2782 + 396 34 29512 + 13167 3178 35 16345 + 16345 36 0 Diese Gleichung gibt sonach symmetrische Werthe für u von x = + 18 an, vorwärts bis + ∞, wie rückwärts – ∞; die Werthe von u sind zwischen x = 0 und = + 36 negativ, ist x aber negativ oder > 36, so fallen die Werthe von u positiv aus, denn für x = – 1 und = + 37 ist u = + 19943 u.s.w. Es gibt somit für x vier reelle positive Wurzeln, wenn u > – 57672 und < – 62937. Für den Fall, daß u = – 57672, hat x bloß drei reelle positive Wurzeln; und wenn u > – 62937, so sind alle Wurzeln von x imaginär. Von – 57672 bis 0, als Werth von u, hat x zwei positive Wurzeln. Ist u > 0 und positiv, so besitzt x eine positive und eine negative Wurzel. Es ist in diesem Beispiel besonders interessant, die Beschaffenheit der Differenzen zu untersuchen. Die vierte Differenz ist constant = 24. Die dritte ist von + ∞ bis + 18 positiv und von da – ∞ wird sie negativ. Die zweite Differenz ist nur in der Mitte, wo die Tabelle symmetrisch verläuft, einige Glieder hindurch negativ, sonst bis + und – ∞ aber positiv. Endlich besitzt die erste Differenz nach den Extremen hin entgegengesetztes Zeichen, welches aber nochmals nach der Mitte zu sich symmetrisch umkehrt. – Es muß jedoch noch bemerkt werden, daß, da die Werthe von u, welche die Maschine für x = 0 bis x = 36 berechnete, negative sind, sie aber nicht als Complemente, sondern in ihrer wahren Form berechnet und gedruckt wurden, deßhalb die Differenzen mit umgekehrten Zeichen, also die zweite und vierte negativ oder in ihren Complementen, die erste und dritte aber mit positivem Zeichen in die Maschine hatten eingesetzt werden müssen. Wäre die Maschine noch weiter, wie bis zum 36sten Glied bewegt worden, so hätte man jetzt, um positive Werthe von u zu erhalten, wieder umgekehrt verfahren, d.h. für die vier Differenzen ihre in der Tabelle angegebenen wirklichen Zahlenwerthe setzen müssen. In dem so eben citirten Beispiel ist die vierte Differenz constant, und läßt sich in die Maschine vollständig einsetzen. Es kann aber der Fall eintreten, daß man mit Differenzen von mehr als fünfzehn Stellen zu rechnen hat, obwohl vielleicht bloß vier, fünf, sechs, sieben oder höchstens acht Ziffern als Tafelwerth für u zu drucken sind. Wenn die Maschine in solch einem Fall eine lange Zeit hindurch im Gange erhalten wird, so daß sie sehr viele Werthe von u berechnet, so wird augenscheinlich die Auslassung der 16ten etc. Zifferstelle sich bald in der Zahlentafel fühlbar machen müssen. Um dem vorzubeugen, muß man zu erfahren suchen, wie viele Werthe von u ohne Fehler in der letzten Ziffer des gedruckten Resultats erhalten werden können. Denkt man sich zu dem Zweck die Maschine in Gang gesetzt mit nur einer Differenz D der vierten Ordnung, wie es die erste Verticalspalte andeutet, 1 2 3 4 5 ntes Glied 0 0 1 D 5 D 15 D (n – 2)/1 . (n – 1)/2 . n/3 . (n + 1)/4 . D 0 0 1 D 4 D 10 D (n – 2)/1 . (n – 1)/2 . n/3 . D 0 1 D 3 D 6 D 10 D (n – 1)/1 . n/2 . D 0 1 D 2 D 3 D   4 D (n – 1)/1 . D D   D   D   D     D D so würde man, in der Art wie die Maschine die Differenzen verbindet (in gleichzeitig gebildeten Paaren), die zweite, dritte, vierte, fünfte und nte Colonne erhalten, wo die Coefficienten von D nothwendig und augenscheinlich figurirte Zahlen der verschiedenen Ordnungen sind (hier bis zur fünften), nur daß die vierten und fünften figurirten Zahlen den zweiten und dritten ein Glied vorausgesetzt sind (siehe S. 255). Das Gesetz für irgend eine Maschine die irgend eine Ordnung von Differenzen hat, wird daraus klar. Man sieht nun unmittelbar, daß, im Falle in die Maschine die Differenzen D⁰, DI, DII, DIII, DIV eingesetzt wurden, die nte gedruckte Zahl, welche mit Pn, bezeichnet worden, in Pn = D⁰ + (n – 1)/1 DI + (n – 1)/1 . n/2 DII + (n – 2)/1 . (n – 1)/1 . n/3 . DIII + (n – 2)/1 . (n – 1)/2 . n/3 . (n + 1)/4 DIV erhalten wird. Daraus ergibt sich denn, daß wenn der Fehler wegen Auslassung der sechzehnten etc. Ziffer in der ersten Differenz = α ist und β, γ, δ beziehungsweise in der zweiten, dritten und vierten Differenz, der Fehler in Pn, bezeichnet mit e, immer kleiner wie nα + n²/2 β + n³/6 γ + n⁴/24 δ seyn sollte. Da man die Maschine nun immer bis u ± 1/2 e statt u im Gang erhalten kann, indem man in solcher Weise die Wirkung eines Fehlers halbirt, so kann man, selbst wenn man mit allen vier Differenzen arbeitet, für den praktischen Gebrauch ganz wohl e = n⁴/48 δ setzen (d.h. halb so groß wie den durch die vierte Differenz verursachten Fehler; streng genommen wäre Textabbildung Bd. 156, S. 326 Ist nun m die in der Tafel erforderliche Zifferzahl, so ist es gebräuchlich, keinen größeren Fehler wie ± 5 in der m + 1ten Stelle zu erlauben. Der größte Werth, welchen δ in der Maschine von Scheutz haben kann, ist (weniger als) 5 × 10–¹⁶, woraus man schnell sieht, daß, da alsdann 5 × 10–m- ¹ = n⁴/48 . 5 × 10–16 ist, u⁴ = 48 × 10¹⁵–m seyn wird. Will man somit z.B. acht Zifferstellen die Maschine correct drucken lassen, so hat man n⁴ = 48 × 10⁷ = 480000000 und n = 148 als die Anzahl von Werthen von u, die man in jeder Richtung drucken kann. Sollen bloß sieben Stellen correct ausfallen, so wird n⁴ = 48 × 10⁸ und n = 263. Wünscht man bloß fünf Stellen richtig zu erhalten, so wird n = 832, so daß man in diesem Fall wenigstens 800 Glieder bei jedem Vorwärts- und Rückwärtsschreiten der Maschine erhalten kann, oder im Ganzen 1600 Glieder. Im Folgenden soll nun eine ganz allgemeine und in der Anwendung äußerst einfache Methode mitgetheilt werden, wie man geeignete Differenzen finden kann, mit denen man die Maschine in Gang setzt. Es sey u₀ der bekannte Werth für irgend ein Glied der Tabelle und u x der ebenfalls bekannte Werth für ein anderes, welches x Glieder in auf- oder absteigender Folge entfernt ist, so läßt sich bekanntlich setzen ux = u₀ + ax + bx² + cx³ + dx⁴. Gibt man nun in dieser Gleichung x nach einander die Werthe 0, ± 1 und ± 2, ordnet tabellarisch und stellt die Differenzen der einzelnen Glieder neben einander, so erhält man folgendes Schema: 1ste Differenz. 2te Differenz. 3te Differ. 4te Diffr. u–2 = u₀ – 2a + 4b – 8c + 16d a – 3b + 7c – 15d u–1 = u₀ –   a +   b –   c +     d 2b – 6c + 14d a –   b +   c –     d 6c – 12d u₀  = u₀ –––––––––––––– 2b         + 14d ––––––––– 24d a +   b +   c +     d –––––––––––– 6c + 12d ––––––– u₁  = u₀ +   a +   b +   c +     d 1b + 6c + 14d a + 3b + 7c + 15d u₂  = u₀ + 2a + 4b + 8c + 16d Wollen wir nun aus diesen Differenzen die Werthe der Coefficienten a, b, c und d finden, so müssen wir berücksichtigen, daß es nicht alle ersten Glieder sind, welche in die Maschine eingesetzt werden, sondern daß die erste und zweite Differenz der dritten und vierten um ein Glied voraus sind. Bezeichnet man die in die Maschine einzusetzenden und in obigem Schema unterstrichenen Glieder beziehungsweise mit DIVu–2, DIIIu–2, DIIu–2, DIu–2, von Rechts nach Links, so ergibt sich schnell d = 1/24 DIVu–2; c = 1/6 DIIIu–2 + 2d; b = 1/2 DIIu–, – d und a = DIu–1 + 1/2 DIIu–1 – c. Wenn nun ferner N – 1 die Anzahl der zwischen u₀ und u ± 1, u + 1 und u ± 2 einzuschaltenden Glieder ist, so setzt man 1/ N = x und bekommt unmittelbar: D IV u –2 x = 24 dx⁴, D III u –2 x =   6 (cx³ – 2dx⁴), DIIu–x =   2 (bx² + dx⁴), DIu–x = ax – bx + cx³ – dx⁴ Mit diesen Differenzen kann man nun die Maschine in Gang setzen und vorwärts von u₀ über u₁ bis u₂ drucken und nachdem die Zeichen der ungeraden Differenzen, wie früher gezeigt, gewechselt sind, ebenso rückwärts von u₀ über u–1 bis u–2 und zwar ohne nur die Form der Function zu kennen, die berechnet wird, da es vollkommen hinreicht, daß man fünf bekannte Werthe derselben in gleichen Zwischenräumen nimmt. Ein Beispiel wird den Gebrauch obiger Formeln erläutern. Es sollen die siebenstelligen Logarithmen von der Zahl 3000 an berechnet werden. Man nehme N = 200 (also x = 1/200) und erhält demnach aus den anderweitig bekannten Logarithmen das folgende Schema: 1ste Differenz. 2te Differenz. 3te Differenz 4te Differenz. log. 2600 = 3,4149733 0,0321847 log. 2800 = 3,4471580 – 0,0022214 0,0299633 + 0,0002868 log. 3000 = 3,4771213 – 0,0019346 – 0,0000520 0,0280287 + 0,0002348 log. 3200 = 3,5051500 – 0,0016998 0,0263289 log. 3400 = 3,5314789 Es ist somit: DIu–1   = 0,0299633; DIIu–1  = – 0,0019346; DIIIu–2 = 0,0002868; DIVu–2 = – 0,0000520. Die Berechnung der Formeln würde schematisch folgendermaßen vorzunehmen seyn: DIu–1 + 1/2 DIIu–1 – c = a ax – bx² + cx³ – dx⁴ = DIu–x                  DIIu–1 . 1/2 – d = b bx² . 2 + 2dx⁴ = DIIu–x 1ste Differenz 2te Differenz x = 1/200 x² = 1/4 . (1/100)² D I u –1 = + 0,0299633.. D II u –1 = – 0,0019346 1/2 DIIu–1 = – 0,0009673.. 1/2 DIIu–1 = – 0,0009673    –––––––––––– d = – 0,000002166..    + 0,0289960..    –––––––––––––– c = + 0,000043466.. b = – 0,000965133..    –––––––––––––– bx² = – 0,00..24128333;3 a = + 0,28952533 2bx² = – 0,00..48256666;6 ax = + 0,000144762666666       2dx² = – 0,00   .  .  . 002;7 bx² = – 0,000000024128333    –––––––––––––––– cx³ = + 0,000000000005433 –DIIu–x = – 0,00..48256669;3 dx⁴ = + 0,0  .  .  .  .  .   0001 Complement:    –––––––––––––––––– – DIIu–x = + 9,99..91743330;7 D I u –x = + 0,000144786800434 –––––––––––––––––– –––––––––––––––––––– – DIu–x = – 0,000144738543765 Complement: – DIu–x = + 9,999855261456235 –––––––––––––––––––– (DIIIu–2 + 1/2 DIVu–2) 1/6 = c(c . x³ – 2dx⁴) . 6             = DIIIu–2x            DIVu–2 . 1/24 = d d . x⁴ . 24     = DIVu–2x 3te Differenz 4te Differenz x³= 1/8 . (1/100)³ x⁴ = 1/16 . (1/100)⁴ D III u –2 = + 0,0002868 D IV u –2 = – 0,0000520.. 1/2 DIVu–2 = – 0,0000260 d = – 0,0000021667..    –––––––––––– dx⁴ = – 0,00 .  .  . 1;354    + 0,0002608 – DIVu–2x = – 0,00  .  .  32;496 c = + 0,0000434666... cx³ = + 0,0000..5433;33.. Complement: 2du⁴ = – 0,0000. . . . 2;71          – DIVu–2x = + 9,99 . . 967;504    ––––––––––––––– –––––––––––––––––    + 0,00 ... 5436;04 D III u –2x = + 0,00 ..32616;24 ––––––––––––––––– – DIIIu–2x = – 0,00 ..32583; Complement: – DIIIu–2x = + 9,99..967417; ––––––––––––––––– Die Rechnung für die erste Differenz ist fünf Decimalstellen weiter ausgedehnt als nöthig ist, um zu zeigen wie cx³ und dx⁴ erforderlichenfalls eintreten würden; und aus einem ähnlichen Grunde sind die Rechnungen für die zweite und dritte Differenz beziehungsweise vier und drei Stellen weiter ausgedehnt. Das Semikolon deutet hier die fünfzehnte oder letzte Zifferstelle der Maschine an. Werden die Logarithmen von 3000 an in aufsteigender Reihenfolge berechnet, so hat man die Differenzen D I = ,000144786800434 D II = ,999999951743330 D III = ,000000000032616 D IV = ,999999999999967 in die Maschine einzusetzen. Da die 4te und 2te Differenz negativ sind, so müssen ihre Complemente genommen werden. Rechnet man aber in absteigender Folge, also von 3000 gegen 2800 etc. hin, so muß man berücksichtigen, daß in diesem Falle die dritten und ersten Differenzen ebenfalls negativ werden, also mit den vierten und zweiten gleiches Zeichen erhalten. DIu–x, sowie DIIIu–2x bekommen deßhalb einen von dem früheren etwas verschiedenen Werth. In die Maschine müssen jetzt für alle vier Differenzen ihre entsprechende Complemente eingesetzt werden. D I = ,999855261456235 D II = ,999999951743330 D III = ,999999999967417 D IV = ,999999999999967. Die Maschine rechnet auf diese Weise ohne Fehler die Logarithmen von 2600 bis 3400, im Ganzen 800 Glieder. In ähnlicher Weise sind die von Gravatt herausgegebenen fünfstelligen Logarithmen von 1 bis 10000 berechnet und gedruckt worden. Die ganze Zeit, welche diese gleichzeitige Operation in Anspruch nahm, betrug beinahe achtzig Stunden. Für den Gebrauch der Maschine ist noch folgender Punkt zu erörtern. Es kann eintreten, daß u, die Funktion von x, welche zu berechnen ist, nicht die vierte, noch überhaupt irgend eine Ordnung von Differenzen constant hat. Um die Folgen davon einzusehen, sollen, wie es in den meisten Fällen völlig ausreichend seyn wird, die Werthe von ux, abgeleitet von vier Ordnungen von Differenzen (hier gezeichnet IVux) mit den Werthen von ux, abgeleitet von sechs Ordnungen von Differenzen (gezeichnet VIux) verglichen werden. Setzt man in der Gleichung ux = u₀ + ax¹ + bx² + cx³ + dx⁴ + ex⁵ + fx⁶ in ähnlicher Weise wie früher x nach einander 0, ± 1, ± 2 und ± 3, so findet man in den einzelnen Differenzen seine Coefficienten: f = 1/720 DVIu–3 e = 1/120 DVu–3 + 1/240 DVIu–3 d = 1/24 DIVu–2 – 1/144 DVIu–3 c = 1/6 DIIIu–2 + 1/12 DIVu–2 + 1/24 DIVu–3 – 1/18 DVIu–3 b = 1/2 DIIu–1 – 1/24 DIVu + 1/180 DVIu–3 a = DIu–1 + 1/2 DIIu–1 – 1/6 DIIIu–2 – 1/12 DIVu–2 + 1/30 DVu–3 + 1/60 DVIu–3 Setzt man nun u₀ + ax + bx² + cx³ + dx⁴ + ex⁵ + fx⁶ = u₀ + αx + βx² + γx³ + δx⁴ was streng genommen nur richtig ist für x = 0, ± 1 und ± 2, aber bis zu einem gewissen Grad der Annäherung auch für andere Werthe von x, so erhält man, da nach dem vorhergehenden δ = 1/24 DIVu–2,   γ = 1/6 DIIIu–2;   β = 1/2 DIIu – 1/24 DIVu α = DIu–1 + 1/2 DIIu–2 – 1/6 DIIIu–2 – 1/12 DIVu–2 direct den Unterschied der beiden Functionen: VIu–x – IVu–x = 1/720 DVIu–3x6 + (1/120 DVu–3 + 1/240 DVIu–3) x5 – – 1/144 DVIu–3x4 + (1/24 DVu–3 + 1/148 DVIu–3) x3 + + 1/180 DVIu–3x2 + (1/30 DVu–3 + 1/60 DVIu–3) x = = 1/720 DVIu–3 {x6 + 3x5 – 5x4 – 15x3 + 4x2 + 12x} + = 1/120 DVu–3 {x5 – 5x3 + 4x} Man sieht nun leicht ein, daß die Fehler, die durch den Gebrauch von vier Differenzen entstehen, wo man sechs hätte anwenden müssen, nahezu Maxima seyn werden in der Mitte zwischen den Werthen von x = 0 und ± 1, von + 1 und + 2, sowie von – 1 und – 2. Setzt man somit in obige Formel nach einander x ± 1/2 und ± 3/2, so findet man genau: VIu1/2 – IVu1/2 = 3/256 DVu–3 + 7/1024 DVIu–3 VIu–1/2 – IVu–1/2 = – 3/256 DVu–3 + 5/1024 DVIu–3 VIu3/2 – IVu3/2 = – 7/256 DVu–3 – 21/1024 DVIu–3 VIu–3/2 – IVu–3/2 = 7/256 DVu–3 + 7/1024 DVIu–3 oder für die praktische Anwendung kann man den halben Fehler setzen       0,001 ( 6 DVu–3 + 3 ½ DVIu–3) zwischen u0 und u1       0,001 (– 6 DVu–3 – 2 ½ DVIu–3) zwischen u0 und u–1       0,001 (– 14 DVu–3 – 10 ½ DVIu–3) zwischen u1 und u2       0,001 ( 14 DVu–3 + 3 ½ DVIu–3) zwischen u–1 und u–2 Diese Fehler müssen natürlich aus den Tafeln weggelassen werden; d.h. man wird eine Zifferstelle weniger anwenden, als die mit dem Fehler behaftete. –––––––––– Wir hatten unsern Bericht schon so weit beendet, als uns von Hrn. Donkin, den wir brieflich um einige Details über die von ihm für das Register Office construirte Maschine ersucht hatten, eine Beschreibung derselben zugeschickt wurde, die erst kürzlich, am 22. März, in den Dealy News erschienen war. Da jedoch keine erläuternden Zeichnungen beigefügt sind, so bleibt immerhin das Ineinandergreifen der Maschinentheile unverständlich und wir vermögen darnach nur die den früher citirten Specimens of Tables entnommene perspectivische Zeichnung, Fig. 1 auf Tab. V, einigermaßen zu erläutern. Die ganze Maschine ist etwa sechs Fuß lang, zwei Fuß hoch und zwei Fuß tief, ihr Gewicht gegen 8 Centner. Der rechnende Theil besteht aus fünf Reihen versilberter Ringe oder hohler Cylinder, jeder etwa zwei Zoll im Durchmesser und drei viertel Zoll hoch, worauf die 10 Zifferzeichen eingravirt sind. In jeder Horizontalreihe befinden sich fünfzehn Zifferringe. Dieselben ruhen auf einer Messingbank und bewegen sich zugleich auf derselben im Kreise. Eine einzige Stahlachse geht durch je fünf senkrecht übereinander stehende Zifferringe und durch die Messingbänke, auf denen sie ruhen, hindurch und bewirkt die Bewegung der Ringe. Die Ziffern auf jedem der 15 Ringe der ersten, dritten und fünften Reihe sind in umgekehrter Folge, 1, 2, 3 etc. von Rechts nach Links markirt; die Ziffern auf der zweiten und vierten Reihe hingegen in natürlicher Reihenfolge von Links nach Rechts. Wenn nun die Maschine durch Umdrehung der Kurbel in Gang gesetzt wird, so machen zuerst alle 15 senkrechten Stahlachsen eine vollständige Umdrehung von Rechts nach Links und bewirken dabei, durch ein nicht weiter erkennbares Arm- und Hebelwerk, daß sich die Zifferringe der zweiten und vierten Reihe um eben so viele Ziffern weiter bewegen, wie die direct darunter befindlichen Zahlen der dritten und fünften Reihe andeuten. An den Ringen, wo eine Uebertragung von Einern stattfinden soll, ist unterdeß ein Hebel nach Hinten vorgesprungen. Wird nun die Kurbel der Maschine weiter gedreht, so geht eine senkrechte Pfoste mit zwei Armen vor der ganzen Zifferringreihe und eine ganz gleiche hinter derselben in entgegengesetzter Richtung an der ganzen Länge der Reihe einher. Die hinten stehende Pfoste gleitet mit ihren zwei Armen an den Ringen der zweiten und vierten Reihe von Rechts nach Links schreitend hin und drückt dabei die vorgesprungenen Hebel in ihre Ruhelage zurück, dabei zugleich die betreffenden Zifferringe um eine Ziffer weiter bewegend. Die in der Figur sichtbare Pfoste D, deren zwei Arme an der ersten und dritten Zifferringreihe hinstreichen, ist während dem von dem äußersten Zifferring links zu dem äußersten rechts geschritten, ohne eine weitere Wirkung hervorzurufen. Während der nun folgenden Kurbelumdrehung bleiben die Pfosten in Ruhe stehen, aber die 15 Stahlachsen machen wieder eine volle Umdrehung, nun jedoch in entgegengesetzter Richtung wie vorher, also von Links nach Rechts. Dadurch ist es möglich geworden, daß die Ringe der zweiten und vierten Reihe in Ruhe bleiben, während die der ersten und dritten Reihe von den Achsen mitgenommen werden und zwar gerade um so viele Zehntheile einer Umdrehung, als die Zahlen direct darunter in der zweiten und vierten Reihe angeben. Da hierbei die Ringe der ersten und dritten Reihe ebenfalls von Links nach Rechts sich bewegen, so folgen sich natürlich die darauf befindlichen Zahlen in ihrer zunehmenden Folge. An den Ringen, wo ein Hinzuzählen von Einern stattfinden soll, sind dabei wiederum kleine Hebel und zwar nach vorn vorgesprungen; während der weiteren Kurbelumdrehung gleitet jetzt die vordere Pfoste von Rechts nach Links mit ihren beiden Armen an der ersten und dritten Zifferringreihe einher, drückt die vorgesprungenen Hebel zurück und bewegt dabei die betreffenden Ringe um eine Ziffer weiter. Die hintere Pfoste gleitet zugleich von Links nach Rechts, ohne zu wirken. Damit ist nun eine vollständige Rechnung beendet. Das Drucken der in der obersten Reihe dargestellten Zahlen der Tabelle geschieht in folgender Weise. Die acht ersten Ringe links sind jeder in fester Verbindung mit einem hohlen Messingcylinder, welcher die Stahlachse frei umschließt. An seinem oberen Ende ist eine mit besonderen Einschnitten versehene Scheibe angebracht, welche die Bewegung der Zifferringe vermittelst zweier auf eigenthümliche Weise geformter Apparate auf eine Zahnstange überträgt, die wiederum in ein Zahnrad B eingreift und dieß um eben so viele Abschnitte dreht, als sich der Zifferring bewegt hat. Mit diesem Zahnrad in unmittelbarem Zusammenhang auf horizontaler Achse bewegt sich eine Letternwelle C, welche auf ihrer Peripherie die zehn Ziffern in Relief als Stahlstanzen enthält. Es sind nun solcher Letternwellen acht nahe neben einander, die durch Teleskopenachsen (wie man sie bei den verschiedenen Zeigern einer Uhr kennt) mit ihren betreffenden Zahnrädern in Verbindung stehen. Sowie nun die Zifferringe der obersten Reihe in Bewegung gesetzt werden, bewegen sich gleichzeitig die acht Letternwellen, so zwar daß immer die Zahl, welche von den Ringen angegeben ist, von den Letternwellen nach Unten gekehrt wird. Nachdem die Rechnung vollendet ist, wird jetzt durch die Maschine ein Bret, auf dem eine Bleiplatte liegt, in die Höhe gehoben und die berechnete Zahl in die Platte eingestanzt. Das Bret senkt sich alsbald wieder und schreitet zugleich um einen Raum vorwärts, welcher der Entfernung zweier auf einander folgender Zahlen entspricht. Es scheint aus dieser übersichtlichen Erläuterung hervorzugehen, daß die Maschine die an sie gestellten Anforderungen auf eine sehr einfache Weise erfüllt, wie man es kaum bei der Natur scheinbar so verwickelter Vorgänge erwarten sollte. Dem entsprechend ist auch der Kaufpreis, welcher von Donkin (Firma: Bryan and Donkin Bermondsey, near Grangr Road, London) für die Herstellung einer solchen Maschine verlangt wird, ein mäßiger zu nennen. Derselbe erbietet sich nämlich, beim gleichzeitigen Zusammentreffen der Bestellung mehrerer Maschinen, das Exemplar zu 2000 Pfund Sterling zu liefern. Die von dem englischen Gouvernement für die an das Register Office gelieferte Maschine bezahlte Summe von nur 1200 Pfd. St. ist eine unverhältnißmäßig niedrige gewesen, bei der die Fabrikanten ihre Rechnung nicht finden konnten. Die Ausführung dieser Maschine wurde wohl überhaupt nur darum unternommen, um ein Interesse dafür in weiteren Kreisen hervorzurufen und die Möglichkeit zu beweisen, daß ein Werk, welches einst in demselben Lande so unermeßliche Summen verschlungen hatte, ohne zur Vollendung zu gelangen, sich auch mit mäßigen Mitteln und für ein größeres Publicum in einer allen Anforderungen entsprechenden Weise dürfte darstellen lassen. Hoffentlich können wir im Stande seyn, demnächst noch die näheren Constructionsdetails dieser merkwürdigen Maschine mitzutheilen. Aus Veröffentlichung derselben dürfte wohl kaum weder ihren Erfindern, den Herren Scheutz, noch ihrem gegenwärtigen englischen Fabrikanten ein Nachtheil oder eine Concurrenz zu befürchten seyn; das Interesse, die Theilnahme für dieselbe würde nur zunehmen, wenn ihr Organismus völlig verstanden ist. Von einem Mangel muß schließlich noch diese Art von Rechenmaschine frei gesprochen werden, von welchem alle anderen seither construirten Rechenmaschinen, die insbesondere die Operationen der vier Species ausführen sollten, begleitet waren und der ihrer Verbreitung ein Ziel setzte: Die Aufmerksamkeit für deren Betrieb von Seiten des Manipulators ist nämlich zu bedeutend, zuweilen selbst anstrengend, wie bei den Divisionsmaschinen, so daß sie häufig keine wesentliche Erleichterung und Beschleunigung der Arbeit gewährten; und dabei litten noch die Resultate an einer möglichen nicht zu controlirenden Ungenauigkeit, die sowohl in der Unaufmerksamkeit der Person des Rechnenden wie in der immer aus sehr vielen beweglichen und gegen einander verschiebbaren Theilen zusammengesetzten Maschinerie ihren Grund haben konnte. Es fehlte damit jeder Zeit die geringste Garantie für die Richtigkeit der Rechnung, der Vortheil, welcher in der Anwendung der Maschine liegen sollte, blieb illusorisch. – In der Tabellen-Rechenmaschine können beide Mißstände nicht eintreten. Die Bedienung ist eine äußerst einfache, indem, sobald von Anfang an die Differenzen richtig eingesetzt sind, die Bewegung und Rechnung der Maschine durch eine einfache Kurbelumdrehung stattfindet. Ferner aber sollen von der Maschine nicht einzelne Zahlenresultate berechnet werden, sondern eine große Menge mit einander in Verbindung stehender und sich auseinander ergebender Zahlen, von denen naturgemäß die eine oder die andere in größeren Intervallen schon im Voraus bekannt ist, oder auf dem gewöhnlichen Wege durch Rechnung gefunden werden kann. Indem nun die Maschine beim Fortschreiten der Rechnung immer die eine oder die andere jener Zahlen wieder produciren muß, und außerdem ihre Resultate zu gleicher Zeit druckt, so liegt darin für immer eine Controle und eine Bürgschaft für die Richtigkeit ihrer Angaben und den ungestörten Zusammenhang ihrer Theile.