CXXIV. Die Universal-Kuppelung von F. W. Blees. Aus den Verhandlungen des Vereins zur Beförderung des Gewerbfleißes in Preußen, 1865 S. 29. Mit Abbildungen auf Tab. VI. Universal-Kuppelung von F. W. Blees. I. Beschreibung der Universal-Kuppelung; von F. W. Blees, königl. Bergassessor und Berggeschworenen. Der Verein zur Beförderung des Gewerbfleißes in Preußen hatte pro 1864/1865 folgende Preisaufgabe gestellt, die Herstellung einer Universal-Kuppelung betreffend: „Die silberne Denkmünze, oder deren Werth, und außerdem dreihundert Thaler Demjenigen, welcher als Verbesserung des Hooke'schen Schlüssels eine Kuppelung für Wellen, deren Drehungsachsen einander schneiden, angibt, welche derartig eingerichtet ist, daß die Bewegung der treibenden Welle auf die getriebene ohne Aenderung der Winkelgeschwindigkeit übertragen wird. Die Ablenkung der getriebenen Welle von der treibenden soll während der Bewegung bis zu einem Winkel von 45 Grad variiren können und die Construction möglichst einfach seyn, so daß dieselbe auch für landwirthschaftliche wie andere Maschinen von beliebiger Kraftübertragung anwendbar und praktisch ist.“ Motive: „Bei verschiedenen landwirthschaftlichen und anderartigen Maschinen, welche durch animalische oder anderweite Kraft in Umtrieb gesetzt werden, bedient man sich zur Uebertragung der drehenden Bewegung des sogenannten Universal-Gelenkes oder des Hooke'schen Schlüssels. Dieser Mechanismus, wegen seiner Einfachheit sonst wohl zu dem genannten Zwecke geeignet, besitzt aber eine Eigenthümlichkeit, welche störend und schädlich wirkt, diejenige nämlich, daß er bekanntlich die getriebene Welle nicht mit gleichförmiger, sondern mit periodisch schwankender Geschwindigkeit herumführt, der Art, daß in jedem Doppel-Quadranten ein Maximum und ein Minimum der Geschwindigkeit eintritt, welche um so mehr von der Normal-Geschwindigkeit abweichen, je größer der Ablenkungswinkel der beiden verbundenen Wellen ist. Dadurch werden die getriebenen Theile in eine zuckende und rüttelnde Bewegung versetzt, welche die Operation der getriebenen Welle in störender Weise beeinflußt und die Maschine raschem Verschleiß aussetzt. Es wäre deßhalb wünschenswerth, eine Kuppelung für Wellen mit sich schneidenden Drehachsen zu besitzen, welche von diesem Nachtheile frei wäre, die mit einem Worte eine wahrhafte Universal-Kuppelung wäre.“ Unterzeichneter, welcher eine Lösung der vorstehenden Aufgabe gefunden zu haben glaubtDie von Hrn. Blees eingesandte Lösung der Preisaufgabe wurde mit dem Preise gekrönt., hält es für zweckmäßig, bei Beschreibung derselben denselben Weg zu verfolgen, auf welchem er zu der betreffenden Idee gelangt ist. Dieser Weg ging natürlich von einer Erörterung der Gründe der oben erwähnten Unvollkommenheit des Hooke'schen Universalgelenkes aus, welche man, in die Formeln der sphärischen Trigonometrie gekleidet, in Weisbach's Mechanik Bd. III S. 19 findet. Zum allgemeineren Verständniß will ich sie hier durch ein kurzes Raisonnement entwickeln: Textabbildung Bd. 176, S. 421 Das Hooke'sche Gelenk besteht bekanntlich aus einem Kreuz, dessen beide Arme mittelst Scharniere an halbkreisförmige Bügel angeschlossen sind, in welche auf den beiden entgegengesetzten Seiten des Kreuzes die treibende und die getriebene Welle auslaufen. Denkt man sich Kreuz, Bügel und Wellen, wie nebenskizzirt, auf mathematische Linien reducirt, so beschreiben die Bügel, auch bei jeder Ablenkung der einen Welle von der anderen, bei ihrer Rotation die Oberfläche einer Kugel, deren Durchmesser die Kreuzarme und deren Mittelpunkt ihr Kreuzpunkt bildet. Die beiden Kreuzarme beschreiben nur bei der Stellung, in welcher beide Wellenachsen in einer Linie liegen, eine gemeinsame Kreisfläche, bei jeder Ablenkung der Wellenachsen aber zwei verschiedene Kreisflächen, welche natürlich immer normal zu der betreffenden Wellenachse bleiben, also einen Neigungswinkel zu einander haben, welcher gleich dem Ablenkungswinkel der Wellenachsen ist, während ihre Durchschnittslinie normal zu beiden Wellenachsen liegt. Hat nun, Tab. VI, Fig. 5, die treibende Welle e, f eine gleichförmige Umlaufsgeschwindigkeit, so bewegt sich mit Bezug auf die erwähnte Kugelfläche der Kreuzarm a, b auch mit gleichförmiger Bahngeschwindigkeit durch die Aequatorialebene acbd, während der an der abgelenkten getriebenen Welle g, h sitzende Kreuzarm c, d mit Bezug auf die erwähnte Kugelfläche den größten Kreis cidk beschreibt, in welchem er während jeder Umdrehung zweimal den Aequatorialkreis acbd durchschneidet, zweimal aber je nach der Ablenkung der Welle das Maximum der Polhöhe ak und bi einnimmt und sich so mehr oder weniger dem Pole der Bewegung f nähert, wo Stillstand eintritt. Vergleichsweise beschreiben die Endpunkte des einen Kreuzarmes a, b also mit gleichförmiger Geschwindigkeit eine Bahn, wie ein Körper, der sich bei der täglichen Rotation der Erde im Erdäquator befindet, die Endpunkte des anderen Kreuzarmes c, d aber mit ungleichförmiger Geschwindigkeit, wie sie bei der gleichförmigen Erdrotation ein Körper beschreiben würde, der sich innerhalb 24 Stunden mit gleichförmiger Geschwindigkeit von einem Orte mit beliebiger Polhöhe der südlichen Hemisphäre auf einem Meridiane bis zur gleichen Polhöhe der nördlichen Hemisphäre und ebenso wieder zurück bewegte. Ein solcher Körper würde einen den Aequator schneidenden größten Kreis beschreiben, in welchem zwei Maxima der Geschwindigkeit eben in diesen Durchschnittspunkten, zwei Minima der Geschwindigkeit aber bei Erreichung der größten Polhöhe, wo die Meridiane mehr zusammenrücken und die Rotationskreise kleiner werden, stattfänden. Diese Erörterung führte mich auf die Bemühung, bei dem neu zu construirenden Gelenke die Mittheilung der Bewegung also nicht, wie hier, durch ein Kreuz stattfinden zu lassen, dessen Arme einzeln eine constante Lage zu den beiden Wellen haben, sondern durch einen Apparat, der in seiner Stellung variabel und so angeordnet sey, daß seine Stellung zu den beiden Wellen immer eine vollkommen symmetrische bliebe. Ich dachte mir also die Bügel der beiden Wellen, wie in Fig. 6 skizzirt, in eine Ebene gelegt und zu Ringen ergänzt und durch einen Bolzen zur Uebertragung der Bewegung verbunden, der zu beiden Wellen symmetrisch läge. Es kam also darauf an, die Construction so zu machen, daß die Rotation der Wellen unbehindert stattfinden könne und daß der Bolzen zur Uebertragung der Bewegung immer in der symmetrischen Lage erhalten werde, zu welchem Behufe er bei der Rotation also immer in derjenigen Ebene bleiben muß, welche den von den beiden Wellenachsen gebildeten auch variablen Winkel halbirt. Der eine Ring mußte offenbar größer werden als der andere um ihn zu umfassen, da die Ringebenen bei jeder Stellung während der Rotation sich durchschneiden, mit Ausnahme von nur zwei Durchgangsmomenten während jeder Umwälzung, welche jedesmal nach Umdrehung um 180° eintreten und in welchem sie in eine Ebene fallen. Die Achse des die Bewegung übertragenden Bolzens muß offenbar immer mit der Durchschnittslinie der beiden Ringebenen zusammenfallen. Auch mußte der größere Ring auf- und ausgeschnitten werden, um die Rotation bei der Ablenkung der Wellen bis zu 45° von einander zu erlauben. Der Anblick der Skizze lehrte schon, daß der Bolzen bei dieser Stellung Ringstücke von ungleicher Länge auf beiden Seiten jeder Welle abschnitt. Er mußte also während der Rotation auf den Ringen sich verschieben, oscilliren können. Ferner verlangte die Bedingung, ihn stets in der Halbirungsebene des Wellenachsen-Winkels zu erhalten, daß er, um obiges Bild festzuhalten, stets gleiche Polhöhe auf den beiden rotirenden Ringen, beziehungsweise auf den beiden durch die rotirenden Ringe beschriebenen Kugelflächen behalte, welche einen gemeinsamen Mittelpunkt, aber verschiedene Drehungsachsen haben. Dieß Alles wurde durch die Idee erreicht, Ringe und Bolzen mit einer Verzahnung zu versehen, und alle übrige Construction ergab sich nun von selbst so, wie ich es auf dem beigegebenen Risse dargestellt habe. Dieser Riß, Tab. VI, stellt die Kuppelung so dar, wie sie wohl aus Schmiedeeisen hergestellt werden möchte, wahrend das von mir dem Verein für Gewerbfleiß eingesandte Modell sie so gibt, wie sie wohl in Guß (Eisen- oder Gelbguß) auszuführen seyn dürfte. Figur 1 gibt einen Grundriß der Kuppelung, beide Ringe in einer Ebene liegend und die Wellenachsen in einer äußersten Ablenkung, die eine nämlich um 45° von der Verlängerung der anderen abgelenkt. Figur 2 gibt einen Durchschnitt durch die Achse des Treibbolzens. Figur 3 gibt einen Grundriß nach erfolgter Drehung der Ringe um 90°, welcher den Mechanismus eher zu veranschaulichen geeignet ist, als es ein der Fig. 1 entsprechender Aufriß seyn würde, bei welchem die Ringe in einer Ebene liegen würden. Fig. 4 gibt eine aufgerollte innere Ansicht des inneren Ringes zur Veranschaulichung der Zahnanordnung etc. Da alle Linien der Verzahnung nach dem Durchschnittspunkte der Achsen der beiden rotirenden Wellen, welcher zugleich der gemeinsame Mittelpunkt der durch die beiden Ringe zu, beschreibenden Kugelflächen ist, convergiren müssen, so mußte sie also eine conische werden. Der Treibbolzen besteht, besonders bei seiner Herstellung in Guß, aus drei, übrigens durch die Schrauben e₁ und e₂ zu einem in sich unbeweglichen Ganzen verbundenen Theilen, den beiden conischen Getrieben oder Ritzeln f₁ und g₁ welche mit ihrem verlängerten Kern F und G in das Mittelstück E eingesetzt sind. Da der Bolzen eine zweifache Bewegung erhält, nämlich eine um seine Achse recht- und rückläufig rotirende und eine mit Bezug auf die Ringebenen um seinen Mittelpunkt oscillirende, so müssen seine Enden auch, und ebenso die Innenseite des inneren Ringes, so weit sie von ihm bestrichen wird, nach den Kugelflächen f, g, h und i (Fig. 2) gekrümmt seyn. Alle Kugelflächen des Apparates erhalten natürlich einen allen gemeinsamen Mittelpunkt. Die Ringe bestehen, um die Verzahnungen und die Ring-Schlitze, in welchen der Bolzen hin und her schwingt, herstellen zu können, aus einer oberen und einer unteren Hälfte, der äußere aus A und B, der innere aus C und D. Ich habe die Ringe, um eine gleichmäßigere Stärke zu erzielen, der Convergenz der conischen Ritzel entsprechend oben und unten nach innen conisch abgeschrägt. Dieß erschwert etwas die Construction, ist aber auch unwesentlich, und sie können eben so wohl oben und unten nach einer ebenen Fläche geformt werden. Wenn die Ringe sich genau umschließen, was allerdings für die Solidität der Construction wünschenswerth seyn dürfte, so muß die Außenseite des inneren und die Innenseite des äußeren Ringes ebenfalls nach einer Kugelfläche geformt und abgedreht werden. Es läßt sich nicht läugnen, daß dieß die Construction einigermaßen complicirt macht. Wenn man dieß aber absolut vermeiden will, kann es auch geschehen; man braucht dann nur einen so weiten Zwischenraum zwischen beiden Ringen zu lassen (wobei die conischen Ritzel natürlich um ein Gleiches verlängert werden müssen), daß sie nach Cylinderflächen geformt sich bei ihren Drehungen und Durchkreuzungen nicht berühren und hindern. Dasselbe gilt von der Innenseite des inneren und der Außenseite des äußeren Ringes. Die Höhe der Schlitze der Ringe, in welchen der Bolzen hin- und hergehen soll, entspricht dem Durchmesser der conischen Ritzel, ist innen also auch kleiner als außen. Die Länge dieser Schlitze muß gleich werden der äußersten Ablenkung der einen Welle, d.h. einem Bogen von 45° plus dem Durchmesser des conischen Getriebes. Die Anordnung der Verzahnung dieser Schlitze, welche sich, beiläufig bemerkt, genau decken, wenn die Wellenachsen in einer Linie liegen, ist eine derartige, daß der eine Schlitz jedes Ringes unten, der andere oben gezahnt ist, und daß auf der Seite, wo der innere Ring unten gezahnt ist, der äußere Ring oben seine Zähne hat und umgekehrt, wie die Zähne aa, bb, cc, dd, Fig. 2, 3 und 4 dieses andeuten. Hierdurch ist es möglich gemacht, daß die conischen Ritzel nicht in einander entgegengesetztem Sinne sich zu drehen und beweglich zu seyn brauchen, sondern mit dem Mittelstück E zu einem Ganzen verbunden seyn können, so daß sie sich immer im gleichen Sinne drehen. Ueber die kugelflächigen Enden dieses Mittelstückes E greift (Fig. 2) der innere Ring über, während in den äußern Ring die mit Schraubenmuttern befestigten die conischen Ritzel bedeckenden Leitscheiben ff, dd (Fig. 1 und 2, in Fig. 3 fortgenommen) eingelassen sind. Diese Leitscheiben sind auf ihrer Innen- und Außenseite nach Kugelflächen, am Rande nach einer Kugelfläche geformt und haben ein Loch in der Mitte zum Durchlassen des Schraubenansatzes der Ritzel. Diese Einrichtungen bewirken eine vollkommene Leitung der conischen Ritzel in den Schlitzen des inneren und äußeren Ringes, so daß der richtige Abstand und Spielraum in den Verzahnungen gewahrt bleibt. Werden die entsprechenden nuthenförmigen Vertiefungen an der Innenseite des inneren und an der Außenseite des äußeren Ringes auf der Drehbank hergestellt, so werden sie natürlich rund herum gehen. Da dieses auch die Construction erschwert, kann man den Zweck auch durch angegossene oder anzuschraubende Leisten über und unter den Aufschlitzungen der Ringe bewirken. Die Aufeinanderbefestigung beider Hälften jedes Ringes kann, wie in der Zeichnung angedeutet ist, durch bogenförmig gekrümmte Schraubenbolzen geschehen, für welche in jede Ringhälfte die Löcher von oben und unten in gebrochener Linie eingebohrt werden können. Werden die Ringe gegossen; so können sie auch besondere Ansätze zur Aufnahme gerader Schraubenbolzen erhalten. Die Befestigung der Wellen H und I an den Ringen kann, wie im Risse angedeutet (Fig. 1, 2 und 4), durch einen zwischen die Ringhälften einzuschaltenden und festzuschraubenden keil- und krückenförmigen Ansatz der ersteren oder auch, wie an dem von mir eingesandten Modelle, mit einer Muffenverbindung mit durchgestecktem Keil geschehen. Die Construction muß aber immer so gewählt werden, daß die Welle am inneren Ringe einen nicht zu großen Durchmesser erhält, weil sonst der äußere Ring noch mehr ausgeschnitten werden müßte. Der Ausschnitt muß nämlich den doppelten Ablenkungswinkel von 45° plus dem Wellendurchmesser, d. i. 90 + circa 30° = circa 120°, betragen. Derselbe muß bei dem Erforderniß der Möglichkeit einer Ablenkung von 45°, wie man aus der Zeichnung ersieht, schon so bedeutend seyn, daß die Schlitze des äußeren Ringes an der einen Seite offen seyn müssen, weil kein Platz bleibt für eine Verstärkung zu ihrem Verschlusse. Dieses, was im Interesse einer starken Construction zu wünschen wäre, wird aber wohl möglich, wenn man sich mit dem erforderlichen Ablenkungswinkel von circa 30° zufrieden gibt, wobei der jetzt gabelförmig offene Schlitz des äußeren Ringes durch einen Ansatz beider Ringhälften mit durchgestecktem Schraubenbolzen ebenfalls geschlossen werden könnte. Man sieht aus Vorstehendem, daß das Princip dieses Mechanismus zwar ein äußerst einfaches ist, so einfach, daß es schwer fällt, an seine Neuheit zu glauben, daß aber die Ausführung desselben eine schon etwas complicirte Construction erheischt, welche namentlich durch die Kugelflächen und conischen Verzahnungen bedingt ist. Auch werden die Verzahnungen mit der Zeit durch Abnützung Roth leiden. Ich habe den beabsichtigten Zweck, den Bolzen in seiner richtigen Bewegungsebene zu halten, durch keinen anderen einfacheren Mechanismus zu erreichen gewußt, als durch diese Verzahnung. Es hätte freilich auch wohl durch Lenkstangen von beiden Wellen aus bewirkt werden können, jedoch nur mit noch größerer Complicirtheit. Man wird aber billigerweise zugeben müssen, daß die vier Gelenke oder Scharniere des Hooke'schen Gelenkes, welche bei Ausführung in größerem Maaßstabe auch mit Achsfuttern versehen werden müssen, auch der Abnützung unterworfen sind und diesen Apparat auch nicht gerade als einen sehr einfachen erscheinen lassen. Es wird sich fragen, ob der vorgesteckte Zweck sich auf noch einfachere Weise wird erreichen lassen und ob die größere Complicirtheit des oben beschriebenen neuen Mechanismus durch den Vortheil der erzielten gleichförmigen Wellenbewegung als ausgeglichen zu betrachten ist. Als wissenschaftlich nicht ohne Interesse hebe ich noch hervor, daß der Treibbolzen, welcher die gleichförmige Bewegung der einen Welle gleichförmig auf die andere überträgt, – eine Gleichförmigkeit, welche sich nur auf die bei beiden Wellenachsen verschiedenen und auf diese senkrechten Rotationsebenen bezieht, daß dieser Bolzen selbst, sage ich, eine ungleichförmige Bewegung, wie der zweite Arm des Hooke'schen Gelenkkreuzes mit zwei Maximis und zwei Minimis der Geschwindigkeit hat, da er seine Bewegung zwar von der gleichförmig bewegten Welle erhält, sich aber nicht in deren Rotationsebene, sondern in einer diese durchschneidenden ebenen Fläche bewegt. Die erzielte Gleichförmigkeit wird, wie schon oben gesagt, nur dadurch bedingt, daß letztere Ebene den Winkel der Wellenachsen und der besagten Rotationsebenen halbirt und daß die Bolzenachse mithin zu beiden Wellen- und Rotationsachsen immer gleiche Polhöhe hält und also immer vollkommen symmetrisch zu denselben liegt. Außer diesem Raisonnement, welches die Sache wohl hinreichend klar machen dürfte, auch noch den Beweis für die Richtigkeit der Lösung der gestellten Aufgabe in mathematische Formeln gekleidet zu geben, erlaube ich mir für überflüssig zu halten. Schließlich bemerke ich noch, daß sich meines Erachtens der Fehler des Hooke'schen Gelenkes übrigens dadurch vollkommen paralysiren läßt, daß man dasselbe repetirt, d.h. ein doppeltes Gelenk daraus macht.Eine bekannte Einrichtung, siehe u.a. Willis' princ. of mechanism. London 1841.Anm. d. Red. der Verhandlungen des Vereins. Freilich müssen dann die Bügel des Mittelstückes in eine Ebene zu liegen kommen, so daß die Bügel der beiden Wellen immer eine vollkommen symmetrische Lage zu einander haben. Wollte man nämlich die Bügel des Mittelstückes vertical zu einander stellen, so würde man offenbar den Fehler verdoppeln, anstatt paralysiren. (gez.) Friedr. Wilh. Blees.       II. Theorie des F. W. Blees'schen Universal-Gelenkes; von dem kgl. Oberbergamts-Markscheider Rhodius in Bonn. Wir setzen (Tab. VI, Fig. 7) rechtwinkelige Coordinaten-Achsen voraus. Die Ebene in welcher die Achsen OA und OB der beiden gekuppelten Wellen liegen, nehmen wir zur Ebene der x und y, die Halbirungslinie X'X des von den Achsen OA und OB eingeschlossenen Winkels AOB zur Achse der x, den Punkt O zum Ursprung der Coordinaten und OX zur positiven Halbachse. Dann ist die Gleichung der Ebene, in welcher sich die Achse des Bolzens bewegt (wir wollen dieselbe Bolzenebene nennen), die folgende: 1) y = 0. Es sey der Winkel AOB durch α bezeichnet, so sind die Gleichungen der Achsen OA und OB bezüglich.: 2) y = x tang 1/2 α,    3) y = – x tang 1/2 α. Die Gleichung einer beliebigen Ebene, welche durch den Ursprung der Coordinaten geht, ist: 4) x + My + Nz = 0, wo M und N reelle Coefficienten sind. Die Gleichung der Durchschnittslinie dieser Ebene mit der Ebene der x und y wird erhalten, wenn man in 4) z = 0 setzt. Dann erhält man aber x + My = 0 oder 5) y = – 1/M x. Soll diese Gleichung die Linie OA ausdrücken, so muß sie mit der Gleichung 2) identisch seyn; man muß also haben: – 1/M = tang 1/2 oder 6) M = – 1/tang 1/2 α = – cotang 1/2 α. Soll aber die Gleichung 5) die Linie OB ausdrücken, so muß sie mit der Gleichung 3) identisch seyn; es muß also dann seyn: – 1/M = – tang 1/2 α oder 7) M = cotang 1/2 α. Substituirt man die gefundenen Werthe für M nach einander aus 6) und 7) in die Gleichung 4), so erhält man die Gleichungen zweier Ebenen, welche die Ebene der x und y bezüglich in den Linien OA und OB schneiden. Der Coefficient N bleibt dabei, so lange weitere Bedingungen über die Lage der beiden Ebenen nicht gegeben sind, unbestimmt. Wir wollen, um anzudeuten daß wir den Cofficienten von z in der einen dieser Gleichungen uns noch unabhängig von dem Coefficienten von z in der anderen dieser Gleichungen denken, in der einen N', in der anderen N'' statt N setzen. Diese Gleichungen sind dann: 8) x – y cotang 1/2 α + N'z = 0, 9) x + y cotang 1/2 α + N''z = 0. Lassen wir N' und N'' ganz unbestimmt, so stellt die Gleichung 8) eine um die Achse OA, die Gleichung 9) eine um die Achse OB bewegliche Ebene, jede in beliebiger, von der Lage der anderen unabhängiger Lage vor. Jedem bestimmten Werthe von N' oder N'' aber entspricht eine bestimmte Neigung der einen oder der anderen dieser Ebenen gegen die Ebene der x und y, welche zugleich die Ebene des Winkels AOB ist. Will man die Durchschnittslinien der Ebenen 8) und 9) mit der Bolzenebene haben, so braucht man nur in den Gleichungen 8) und 9) nach Gleichung 1) (Gleichung der Bolzenebene) y = 0 zu setzen. Dadurch erhält man: 10) x + N'z = 0, 11) x + N''z = 0. Sollen die durch diese Gleichung ausgedrückten Durchschnittslinien während der Rotation der Ebenen 8) und 9) um die Achsen OA und OB zu jeder Zeit in eine Linie zusammenfallen, wie bei dem in Rede stehenden Universal-Gelenk, wo die Bolzenachse diese Linie ist, so müssen die Gleichungen 10) und 11) identisch seyn, d.h. es muß zu jeder Zeit seyn: 12) N' = N''. Die Gleichungen 8) und 9) sind dann, wenn wir wieder N statt N' und N'' setzen, weil die Coefficienten von z in beiden Gleichungen nun nicht mehr von einander unabhängig, sondern einander gleich sind: 8') x – y cotang 1/2 α + Nz = 0, 9') x + y cotang 1/2α + Nz = 0 Setzt man in der Gleichung 8') x = x₁, y = y₁, in der Gleichung 9') x = x₁, y = – y₁, so erhält man zwei identische Gleichungen, welche also gleiche Werthe für z geben. Zwei Punkte P und Q, von denen der erste in der Ebene 8') liegt und die Coordinaten x₁ und y₁ hat, der andere in der Ebene 9') sich befindet und die Coordinaten x₁ und – y₁ hat, haben daher gleiche Abstände von der Ebene der x und y. Die Coordinaten ihrer Projectionen auf diese Ebene sind bezüglich x₁, y₁ und x₁, – y₁. Diese Projectionen haben, wie ohne Weiteres erhellt, bezüglich gleiche Abstände von den Achsen OA und OB. Es folgt hieraus, daß die Ebenen 8') und 9') zu jeder Zeit gleiche Winkel mit der Ebene der x und y, d. i. mit der Ebene des Winkels AOB einschließen. Daraus aber folgt, daß die Ebenen 8') und 9') zu jeder Zeit gleiche Rotationsgeschwindigkeiten bezüglich um die Achsen OA und OB haben, mögen diese Geschwindigkeiten an sich nun constant oder veränderlich seyn. Es ist nebenbei interessant, die Beziehung zu kennen, welche zwischen der Rotationsgeschwindigkeit der Ebenen 8') und 9') und der Rotationsgeschwindigkeit des Bolzens besteht. Die Gleichung der Bolzenachse ist nach 10) oder 11): 13) x + Nz = 0. Es sey P irgend ein Punkt der Bolzenachse. Am Ende der Zeit t sey ein Perpendikel vom Punkt P auf die Ebene der x und y gefällt, und es sey E der Fußpunkt dieses Perpendikels. Ist φ der Winkel, den die Bolzenachse OP mit der Ebene der x und y einschließt, so ist cos φ = OE/OP, sin φ = PE/OP. Fällt man von dem Punkte E die Perpendikel EF und EG auf die Achsen OA und OB, so ist, wenn β den Neigungswinkel der Ebenen 8') und 9') gegen die Ebene der x und y am Ende der Zeit t vorstellt: EF = EG = PE . cotang β, EF = EG = OE . sin 1/2 α, und folglich: PE . cotang β = OE . sin 1/2 α, oder OP . sin φ . cotang β = OP . cos φ . sin 1/2 α, oder: 14) tang φ = sin 1/2 α. tang β. Dieselbe Gleichung findet statt, wenn der Fußpunkt des von P auf die Ebene der x und y gefällten Perpendikels auf die Halbachse OX', etwa in den Punkt E', fällt, in welchem Falle die Winkel β und φφ stumpf sind, wenn sie in dem zuerst betrachteten Falle spitz waren. Durch Differentiation der Gleichung 14) nach der Zeit t erhält man, wenn jetzt die den Winkeln φ und β zugehörigen Bogen für den Halbmesser = 1 unter φ und β verstanden werden, 1/(cos φ)² . dφ/dt = sin 1/2 α . 1/(cos β)² . dβ/dt und daher dφ/dt = sin 1/2 α.(cos φ)²/(cos β)² . dβ/dt oder, wenn man für Textabbildung Bd. 176, S. 429 seinen aus 14) sich ergebenden Werth setzt, Textabbildung Bd. 176, S. 429 Die Differentialquotienten dφ/dt und dβ/dt drücken die am Ende der Zeit t stattfindenden Winkelgeschwindigkeiten (Rotationsgeschwindigkeiten) bezüglich des Kuppelungsbolzens und der um die Achsen OA und OB rotirenden Ebenen aus, und die Gleichung 15) gibt die Beziehung zwischen diesen Winkelgeschwindigkeiten am Ende der beliebig gedachten Zeit t, also allgemein für jeden beliebigen Zeitmoment, unter der Bedingung, daß β den Bogen (für den Halbmesser = 1) des diesem Zeitmoment entsprechenden Neigungswinkels der Ebenen 8') und 9') gegen die Ebene der x und y vorstellt. Ist die Rotationsgeschwindigkeit dβ/dt der Ebenen 8') und 9') constant, so findet ein Maximum oder ein Minimum der Winkelgeschwindigkeit des dφ/dt des Kuppelungsbolzens statt, wenn der Differentialquotient Textabbildung Bd. 176, S. 430 der Null gleich wird, d. i. wenn 16)   [(sin 1/2 α)² – 1] sin β . cos β = 0 ist. Diese Gleichung kann aber, wenn nicht gerade (sin 1/2α)² – 1 = 0, nur dann bestehen, wenn sin β. cos β = 0, wenn also entweder cos β = 0 oder sin β = 0 ist. Im ersten Falle ist β = 1/2 π oder β = 3/2 π, im zweiten. Falle aber β = 0 oder β = π. Man, sieht, daß während eines Umganges des Bolzens zweimal abwechselnd ein Maximum und ein Minimum der Geschwindigkeit(dφ/dt) eintreten muß. Das Maximum muß eintreten, wenn Textabbildung Bd. 176, S. 430 negativ ist, das Minimum, wenn dieser Ausdruck positiv ist. Man braucht aber, um zu erfahren, bei welchen der für β gefundenen Werthe Maxima und bei welchen dieser Werthe Minima der Geschwindigkeit dφ/dt stattfinden, nicht einmal zu untersuchen, ob Textabbildung Bd. 176, S. 430 negativ oder positiv ist, man ersieht dieses schon ohne Weiteres aus der Gleichung 15). Dieselbe zeigt nämlich, daß, da für β = 1/2 π und für β = 3/2 π die Werthe von dφ/dt entweder Maxima oder Minima sind, bei diesen Werthen von β die Geschwindigkeit dφ/dt jedesmal ein Maximum seyn muß. Es folgt null schon von selbst, daß für β = 0 und für β = π die Minima von dφ/dt eintreten müssen. Man sieht dieses aber auch direct ein. Hiernach ist jedesmal das Maximum der Geschwindigkeit dφ/dt 17) V' = 1/sin 1/2α . dβ/dt, das Minimum aber 18) V'' = sin 1/2α . dβ/dt, wenn man das Maximum durch V', das Minimum durch V'' bezeichnet. Es ist hiernach noch 19) V' = V''/(sin 1/2α)². In dem einzigen Falle, wo (sin 1/2α)² – 1 = 0 ist, wird der Werth des Winkels β durch die Gleichung 16) nicht bestimmt, d.h. es findet dann kein durch den Winkel β bedingtes Maximum oder Minimum der Geschwindigkeit dφ/dt statt. In diesem Falle hat man aber (sin 1/2α)² = 1, also 1/2 α = 90° und α = 180°. Die Achsen OA und OB liegen also dann in einer geraden Linie. Die Gleichung 15) gibt jetzt dφ/dt = dβ/dt; also die Umdrehungsgeschwindigkeit des Kuppelungsbolzens gleich der Rotationsgeschwindigkeit der gekuppelten Wellen, wie es in diesem Falle nicht anders seyn kann. Bonn, 8. Januar 1865. gez. Rhodius.