XLIII. Professor Zenger's Tangentialwaage. Mit theilweiser Benutzung der Originalabhandlung mitgetheilt von Ferdinand Jicinsky. Mit einer Abbildung auf Tab. V. Zenger's Tangentialwaage. Ich erlaube mir im Folgenden die Einrichtung und Anwendung einer neuen Waage zu beschreiben, welche zufolge des in ihr durchgeführten Principes das wissenschaftliche Interesse der Physiker in hohem Grade erregen dürfte. Die einfache Construction ferner und die Bequemlichkeit, Leichtigkeit und Raschheit, mit welcher Dichtebestimmungen fester und flüssiger Körper, genaue Bestimmungen hinsichtlich der Ausdehnungscoefficienten für magnetische und elektrische Spannungskräfte, ja selbst directe Wägungen an der Tangentialwaage ausgeführt werden können, sichern derselben nicht nur in wissenschaftlichen Cabineten, sondern auch in der Praxis die ausgedehnteste Anwendung. Was speciell die Dichtebestimmung anbelangt, wozu die Tangentialwaage am häufigsten in der gesammten physikalischen und chemischen Technik angewendet werden wird, so steht dieses Instrument von den bis jetzt gebräuchlichen Saccharimetern und Senkspindeln unerreicht da, indem selbst die empfindlichsten Saccharimeter keine sehr genaue Ablesung darbieten (höchstens bis 0,05°), oft von geringfügigen Zufälligkeiten beeinflußt werden und stets den Gebrauch ausgedehnter Nachschlagstabellen bedingen. Die von Hrn. Carl W. Zenger, Professor der technischen Physik am böhmischen Polytechnicum zu Prag construirte, der königl. böhmischen Gesellschaft der Wissenschaften vorgelegte Tangentialwaage, welche in Fig. 8 dargestellt ist, besteht aus einer senkrechten Leitstange mit einer Hülse d und dem Bügel b, welcher an einer feinen stählernen Achse in Achatlagern den 5zölligen leichten Waagebalken mit dem auf- und abzuschraubenden Cylindergewichtchen c trägt. Die Hülse ist an der Leitstange vermöge des Griffes f mit Reibung beweglich. Der Waagebalken trägt einerseits den Glaskörper a, oder, nach Bedarf, zwei übereinander hängende Schälchen mittelst Platindraht, andererseits ein Gewicht g und einen Zeiger, um hiermit den spiegelnd versilberten Limbus von gleichfalls 5 Zoll zu bestreichen; h ist ein kleiner Stift, um das vollständige Umkippen des Waagebalkens zu verhindern, da er außer Gebrauch nicht horizontal im Gleichgewicht liegt. Das ganze Instrument befindet sich im Glaskasten und ist mit zwei Stellschrauben und dem Senkel einzustellen. Für Dichtebestimmungen von Flüssigkeiten kommt der Glaskörper a in die zu prüfende Flüssigkeit; bei Prüfung fester Körper ist derselbe durch die Waagschalen zu ersetzen. Die Ablenkungswinkel am Limbus werden so abgelesen, daß der Zeiger sein Spiegelbild deckt. Die Theilung gibt unmittelbar einen halben Grad an, und mit Beihülfe einer Loupe lassen sich noch die Zehntel davon, somit 1/20 eines Grades abschätzen. Textabbildung Bd. 200, S. 162 Ist nach vorstehender Figur abc die horizontale Achse des Waagebalkens, und bezeichnen wir mit c den Drehungspunkt, mit o und o' den Schwerpunkt des ganzen Systemes, mit m das Gewicht des Waagebalkens, mit co = d die Tiefenentfernung des Schwerpunktes, mit p das Uebergewicht links und mit l die Länge des Waagebalkens, so ist die Tangente des entstehenden Ablenkungswinkels (u) : tg u = pl/md indem die Größe desselben direct proportional ist dem Uebergewicht und verkehrt proportional der Entfernung des Schwerpunktes und dem Gewichte des Waagebalkens. Der Quotient l/md = k bildet eine Constante, welche hauptsächlich von der Lage des Schwerpunktes, nämlich von d abhängig ist. Letzteres ist so zu wählen, daß k = l, was durch das Cylinderchen c, welches allein die Empfindlichkeit der Waage bestimmt, geschehen kann. Dem Gesagten zufolge transformirt sich die obige Gleichung auf tg u = p. Mittelst des Cylindergewichtchens läßt sich die Empfindlichkeit der Waage derart feststellen, daß die jeglichen Gewichte den Tangenten der Ablenkungswinkel proportional sind, und jedes Uebergewicht ist überdieß durch die Tangente seines Ausschlages direct repräsentirt. Wäre z.B. der rechtsseitige Waagebalken mit einer solchen Waagschale belastet, daß derselbe in's Gleichgewicht käme und auf 45° zeigte, so wäre jede Tangente der Ablenkungswinkel das absolute Gewicht für den aufgelegten Körper, welches aus jeder Logarithmentafel direct zu entnehmen ist. Für die geringen Gewichtsmengen, welche bei chemischen Analysen zum Gebrauch dienen und die hiermit der Empfindlichkeit der Waage vollkommen zu Statten kämen, ließe sich das Gewicht von Körpern bis in die Centimilligramme genau eruiren, so zu sagen momentan durch directes Ablesen, da der Waagebalken keinen Schwankungen unterworfen ist und sogleich auf die fragliche Ziffer trifft. Auf wie vielen von den gebräuchlichen analytischen Waagen können wir uns bis in die vierte Decimalstelle einlassen, und wie viel Glaubwürdigkeit verdienen die Arbeiten jener Chemiker, welche von dem Schwindel der Centimilligramme befangen sind? 1. Die Dichtebestimmung von Flüssigkeiten mit der Tangentialwaage. Für Dichtebestimmungen von Flüssigkeiten ist die Waage durch den Glaskörper a und das Gegengewicht g so einzurichten, daß der Waagebalken auf 0° einspielt, sobald das Glasstäbchen in die specifisch leichteste Flüssigkeit eintaucht, z.B. in Aether oder Alkohol. Der beim Eintauchen entstehende Gewichtsverlust einerseits des Waagebalkens bringt diesen in's Gleichgewicht. Bei einer derartigen Justirung können alle Flüssigkeiten, ob schwerer oder leichter als Wasser, untersucht werden. Hat Jemand, wie dieß z.B. in der Zuckerfabrication der Fall ist, nur schwerere Flüssigkeiten als Wasser auf das specifische Gewicht zu prüfen, so wird er zur bequemen Rechnung den Nullpunkt für Wasser einstellen etc. Für jede andere Flüssigkeit ist der Ablenkungswinkel ein anderer, und da zur specifischen Gewichtsbestimmung nur das absolute Gewicht eines gleichen Flüssigkeitsvolumens erforderlich ist und die Gewichtsverluste thatsächlich andererseits am Waagebalken belastend zur Wirkung gelangen, so ist für die betreffende Dichte die Tangente des Ausschlages zur Dichte der specifisch leichtesten Flüssigkeit zuzuschlagen, nach der Formel d = d₀ + tg u, worin d die fragliche Dichte, d₀ die Dichte der leichtesten Flüssigkeit (z.B. Aether) und u den Ablenkungswinkel bedeuten.Bezeichnen wir mit x das Gewicht des Glasstäbchens sammt Platindraht, mit y den Gewichtsverlust in der Flüssigkeit, mit m das Gewicht des Waagebalkens, mit d den Abstand des Schwerpunktes von der Umdrehungsachse, mit l die Länge des Hebelarmes und mit u den Ablenkungswinkel, so ist in der vorigen Gleichung tg u = p l/md das p durch den Ausdruck der nun wirkenden Resultante (p + y) – x zu ersetzen. Somit tg u = [(p + y) – x] 1/md (1.In derselben Weise ist der Ablenkungswinkel u₀ für Aethertg u₀ = [(p + y₀) – x] 1/md – (2. Da der Ablenkungswinkel für Aether u₀ = 0 so muß p + y₀ = x oder p – x – y₀ Bedingungsgleichung für das Gleichgewicht seyn.Wird eine specifisch schwerere Flüssigkeit als Aether gemessen, so ist in die Gleichung Nr. 2 noch der Ueberschuß (y₀) des nun auftretenden Gewichtsverlustes in Rechnung zu ziehen, und es ist tg u = [p + y₀ + y₁ – x] 1/md. Für p + y₀ = x und 1/md = 1 ist tg u = y₁, d.h. die Tangente des Ausschlages ist gleich dem Ueberschusse des Gewichtsverlustes in der zu prüfenden Flüssigkeit gegen jenen in Aether. Der gesammte Gewichtsverlust beziffert sich mithin mit y = y₀ + y₁ = y₀ + tg u oder für die Volumseinheit und mit Bezug auf die Dichten d = d₀ + tg u. „Man findet somit die Dichte einer Flüssigkeit mittelst der Tangentialwaage, wenn man zu der Dichte der für die Waage angepaßten leichtesten Flüssigkeit die Tangente des Ablenkungswinkels addirt.“ Eine Ablenkung von 1° z.B. entspricht einer Dichte von d = 0,7300 + 0,0175 = 0,7475, worin 0,7300 die Dichte des Aethers und 0,0175 die Zunahme des Gewichtsverlustes für 1° Ausschlag ist. Bei einem Volum des Glasstäbchens von etwa 1 Kubikcentimeter geht somit die Empfindlichkeit der Waage für 1° Ablenkung bis 17,5 Milligramme und bei Abschätzung von 1/20° bis 17,5/20 = 0,875 Milligramm, nahezu 1 Milligrm., was die genaue Dichtebestimmung bis zur dritten Decimalstelle ermöglicht. Zur Erleichterung der Rechnung hat Prof. Zenger die folgende Tabelle zusammengestellt. Sie enthält die natürlichen Tangenten von halben zu halben Graden, ferner in der Rubrik d die entsprechenden Dichten von der des Aethers 0,736 bei 0° C. beginnend, bis zur Dichte der concentrirtesten Schwefelsäure, und unter ∆ 3' die Differenzen für 1/20° = 3'. Textabbildung Bd. 200, S. 165 Für einen Unterschied der Temperaturen ist die gefundene Dichte nach der Tabelle auf die Normaltemperatur 0° C. zu reduciren. Zur Temperaturbestimmung kann zweckmäßig ein kleines Thermometer als Einsenkkörper dienen. Der kleine Fehler des Resultates, welcher entsteht, wenn bei anderer Temperatur geprüft wird, beruht nur in der Verschiedenheit der Ausdehnungscoefficienten des Glases und der zu messenden Flüssigkeiten. Wäre das Verhältniß der beiden Ausdehnungscoefficienten gleich 1 oder überhaupt eine Constante, so könnte die Temperatur bei der Untersuchung auch unberücksichtigt bleiben. Zum Schluß dieses Capitels sey uns nur noch gestattet, eine kleine Vergleichstabelle der von Prof. Zenger mit dem Aräometer, dem Pyknometer und der Tangentialwaage an verschiedenen Flüssigkeiten ausgeführten interessanten Versuche zu recapituliren: Temperatur Ablenkungswinkel tg u Dichte Wasser       15° C.  11°     35' 0,2049 0,9989 Alkohol 1) 16   1      25 0,0204 0,8144 Alkohol 2) 16   2      45 0,0466 0,8366 engl. Schwefelsäure 19 45       0 1,0000 1,7940  Temperatur Meißner'sAräometer Norm.Branntweinwaage Pyknometer Tangentialwaage Wasser       15° C. 0,999 – – 0,9989 Alkohol 1) 16 0,812 0,815 0,815 0,8144 Alkohol 2) 16 0,835 0,838 0,839 0,8366 engl. Schwefelsäure 19 1,795 – 1,792 1,7940 Nimmt man die Mittel aus den Aräometer- und Pyknometerbestimmungen, so ergibt sich: Mittel Tangentialwaage Differenz Wasser 0,9990 0,9989 – 0,0001 Alkohol 1) 0,8140 0,8144 + 0,0004 Alkohol 2) 0,8373 0,8366 – 0,0007 engl. Schwefelsäure     1,7935 1,7940 + 0,0005 2. Bestimmung der Dichten fester Körper mittelst der Tangentialwaage. Wie bereits bemerkt, ist hierzu die Doppelwaagschale und destillirtes Wasser zu verwenden. Die Manipulation und Berechnung befolgt dieselben mathematischen Principien und Formeln. Die Gewichtsprüfung kann im Ganzen nach drei Methoden vorgenommen werden. Erste Methode. – Wäre der constante Winkel welchen die untere Waagschale durch Gewichtsverlust beim Eintauchen in Wasser hervorbringt, u₁ und legen wir auf die obere Waagschale so viel vom festen Körper, daß der Waagebalken wieder zu 0° zurückkehrt, so ist tg u₁, das absolute Gewicht desselben. Der feste Körper, in die untere Waagschale gebracht und in Wasser getaucht, bringt natürlich einen anderen Winkel u hervor, dessen Tangente dem absoluten Gewicht eines gleichen Wasservolumens entspricht. Nach der bekannten Formel, welche die Dichte fester Körper durch das Gewichtsverhältniß gleicher Volume vom festen Körper und Wasser ausdrückt, ist die zu suchende Dichte D = tg u₁/tg u = tg u₁ . cotg u. „Man findet somit die Dichte fester Körper durch Multiplication der Tangente des Ausschlages für die Waagschale mit der Cotangente jenes für den eingetauchten Körper.“ Ist p das Gewicht der Schälchen und Aufhängedrähte, x der Gewichtsverlust der unteren Schale, p₁ das Gewicht am anderen Hebelarme, q das absolute Gewicht des festen Körpers und y sein Gewichtsverlust im Wasser, u der Ablenkungswinkel für den festen Körper und u₁ für die Waagschale, so haben wir in der Formel tg u = pl/md statt p nur die im positiven Sinne wirtenden Kräfte p₁, x und die im negativen Sinne wirkenden p und q mit plus oder minus einzuführen und erhalten so tg u₀ = (p₁ – p + x – q) 1/md für den Ablenkungswinkel der Waagschale. Für den Ablenkungswinkel des festen Körpers ist noch dessen Gewichtsverlust im Wasser als positiv wirkend in die Formel zu bringen; somit tg u = = (p₁ – p + x – q + y) 1/md und da der feste Körper den Waagebalken auf 0° zurückführt, muß tg u₀ = 0, oder (in der ersten Formel) (p₁ – p + x – q) = 0. Wornach das Gewicht des festen Körpers q = p₁ – p + x und die Gleichung 2) übergeht in tg u = yl/md = y. Ebenso ist die Formel für die eingetauchte Waagschale abzuleiten: tg u₁ = (p₁ – p + x) l/md = ql/md = q; und die Dichte resultirt aus dem Verhältniß D = q/y = tg u₁/tg u = tg u₁ cotg u. Offenbar ist für diese Prüfungsmethode tg u₁ eine Constante. Prof. Zenger berechnete hiermit eine Tabelle, welche die Cotangenten für einzelne Grade bis 50° mit obiger Konstante q = 0,3443 und q¹ = 1,1918 multiplicirt enthält. Die Dichten sind übrigens direct aus der Tabelle zu entnehmen. Sind Körper von sehr großer Dichte zu prüfen, so wird diese Methode etwas ungenau, da das verdrängte Wasservolumen und der diesem entsprechende Ablenkungswinkel für den eingetauchten Körper unbedeutend sind. In diesem Falle gibt man der unbelasteten Waage ein Auflegegewicht für den Ablenkungswinkel von 50° am Limbus, und sind die Dichten dann in der zweiten Tabelle mit q = 1,1918 = tg 50° aufzusuchen. Tabelle zur Messung der Dichte fester Körper. q = 0,3443 q = 1,1918 u cot u ∆3' Dichte u₀ cot u ∆3' Dichte   0° 30'  1    0  1  30  2    0  3    0  4    0  5    0  6    0  7    0  8    0  9    010    011    012    013    014    015    016    017    018    019    020    021    022    023    0 114,59057,29038,18828,63619,08114,30111,4309,5148,1447,1156,3145,6715,1454,7054,3314,0113,7323,4873,2713,0782,9042,7472,6052,4752,356 1,9730,6580,1640,1640,0820,0490,0330,0240,0180,0140,1100,0090,0080,0070,0060,0050,0040,0040,0030,0030,0030,0020,0020,002 39,45319,72413,1489,8596,5704,9243,9353,2762,8042,4502,1741,9531,7871,6201,4911,3811,2851,2011,1261,0601,0000,9460,8970,8520,811   3°  4  5  6  7  8  9101112131415161718192021222324252627282930 19,08114,30111,4309,5148,1447,1156,3145,6715,1454,7054,3314,0113,7323,4873,2713,0782,9042,7472,6052,4752,3562,2462,1442,0501,9631,8811,8041,732 0,2860,1700,1140,0820,0610,0480,0380,0310,0260,0220,0190,0170,0150,0130,0120,0100,0090,0080,0080,0070,0050,0050,0050,0050,0050,0040,004 22,74017,02913,62511,3399,7068,4807,5256,7596,1315,6075,1624,7804,4484,1563,8993,6683,4633,2743,1042,9492,7782,6772,5562,4442,3392,2412,1502,064 Zweite Methode. – Die Herstellung der Gleichgewichtslage durch jedesmaliges Auflegen des festen Körpers wird, namentlich wenn derselbe in den zweckentsprechenden kleinen Stücken schwer zu erlangen ist, etwas zeitraubend. Man kann dann, ohne Rücksicht auf das Zurückweichen des Waagebalkens auf den Nullpunkt, ein beliebiges verfügbares Fragment verwenden, welches überhaupt noch eine Abweichung im Gebiete des Limbus veranlaßt. Nur ist dann das Gewicht auf die Tangente dieses neuen Ablenkungswinkels zu beziehen und die Dichte auf diese neue Basis zurückzuführen. Die längere Manipulation bei der ersten Methode ist bei der zweiten durch eine complicirtere, aber doch raschere Rechnung ersetzt. Statt mit einfachen Winkeln, hat man es in derselben mit Winkeldifferenzen resp. mit dem Verhältniß der Tangentendifferenzen zu thun. Ist v der Ablenkungswinkel der unbelasteten Waage, u   „             „ bei Belastung (kleiner als v), und u₁  „             „ im Wasser am unteren Schälchen, so ist das Gewicht des Körpers q = tg v – tg u₁, das Gewicht des Wasserkörpers z.B. s = tg u₁ – tg u und die Dichte D = (tg v – tg u₁)/(tg u₁ – tg u). Dritte Methode. – Sie eignet sich für Körper deren Dichte 10 übersteigt. Man legt zunächst den Körper auf die obere Waagschale, hernach auf die untere, tarnt ferner, nach vollständiger Beseitigung des Körpers, z.B. mit Schrot aus und untersucht ebenso wie früher den Gewichtsverlust der Tara durch Auflegen derselben auf die untere Waagschale im Wasser. Offenbar ist das Schrot ein Vergleichungskörper, auf dessen zu untersuchende oder genau bekannte Dichte die Dichte des festen Körpers vorläufig bezogen wird. Bezeichnen wir mit u₀ den Winkel für die belastete Waage, „ u  die Ablenkung für den eingetauchten Körper, und mit u₁  „          „       für die an der unteren Waagschale eingetauchte Tara, so ist tg u₁ – tg u₀, der Gewichtsverlust des zu untersuchenden Körpers im Wasser und tg u₁ – tg u₀ der Gewichtsverlust der Tara, und die Dichte des Körpers D = (tg u₁ – tg u₀)(/tg u – tg u₀) mit Bezug auf die gebrauchte Tara, oder D = (tg u₁ – tg u₀)(/tg u – tg u₀) D₁ mit Bezug auf Wasser, worin D₁ die Dichte der Tara bedeutet.Die bezüglichen mathematischen Beweise sind nach der früher mitgetheilten Schablone durchzuführen. Die Justirung der Waage anbelangend, sey noch zum Schluß erwähnt, daß man zuerst den Nullpunkt entweder für Aether oder absoluten Alkohol feststellt und dann den Winkel für destillirtes Wasser bei 4° C. und jenen für concentrirte Schwefelsäure von genau bekannter Dichte berechnet und prüft, und nöthigenfalls mit dem Cylindergewichtchen auf die richtige Stellung des Waagebalkens nachhilft. Zur Winkelberechnung dient die Gleichung tg u = d – d₀, wo d₀ die Normaldichte und d die Wasser- oder Schwefelsäuredichte bedeuten. Sind mit der Tangentialwaage Ausdehnungscoefficienten zu berechnen, so erhitzt man die Flüssigkeit im Glas bis etwas über die Temperatur bei welcher man beobachten will, und läßt dann mit eingesenktem Thermometer an der Waage abkühlen. Aus dem specifischen Gewichtsunterschied resultirt sogleich die Zunahme für die Volumseinheit. Die Wichtigkeit der Tangentialwaage für die Technik ist bereits im Eingange hinreichend betont worden; wir erlauben uns noch namentlich die Herren Interessenten für Zuckerfabrication auf diese Waage aufmerksam zu machen, da dieselbe ein vortreffliches Mittel zur Bestimmung des specifischen Gewichtes sämmtlicher Säfte und Syrupe abgibt.Genaue Exemplare verfertigt für 50 fl. österr. Währ. Herr Bozek, Institutsmechaniker am böhmischen Polytechnicum zu Prag. Prag, im April 1871.